Question

5．已知函數(shù)$f（x）={log_9}（{9^x}+1）+kx（k∈R）$是偶函數(shù)．
（1）求k的值；
（2）若函數(shù)y=f（x）的圖象與直線$y=\frac{1}{2}x+b$沒有交點(diǎn)，求b的取值范圍．
（3）設(shè)$h（x）={log_9}（a•{3^x}-\frac{4}{3}a）$，若函數(shù)f（x）與h（x）的圖象有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)函數(shù)的奇偶性求出k的值即可；
（2）問題轉(zhuǎn)化為g（x）=log₉（9^x+1）-x的圖象和直線y=b無交點(diǎn)，求出g（x）的最小值，從而求出b的范圍；
（3）問題轉(zhuǎn)化為方程3^x+$\frac{1}{{3}^{x}}$-$\frac{4}{3}$a有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，通過換元結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求出a的范圍即可．

解答 解：（1）因?yàn)閥=f（x）為偶函數(shù)，所以?x∈R，f（-x）=f（x），
即log₉（9^-x+1）-kx=log₉（9^x+1）+kx對(duì)于?x∈R恒成立．
即2kx=${log}_{9}^{{（9}^{-x}+1）}$-${log}_{9}^{{（9}^{x}+1）}$=${log}_{9}^{\frac{{9}^{x}+1}{{9}^{x}}}$-${log}_{9}^{{（9}^{x}+1）}$=-x恒成立
即（2k+1）x=0恒成立，而x不恒為零，所以k=-$\frac{1}{2}$．
（2）由題意知方程${log}_{9}^{{（9}^{x}+1）}$-$\frac{1}{2}$x=$\frac{1}{2}$x+b即方程log₉（9^x+1）-x=b無解．
令g（x）=log₉（9^x+1）-x，則函數(shù)y=g（x）的圖象與直線y=b無交點(diǎn)．
因?yàn)間（x）=${log}_{9}^{\frac{{9}^{x}+1}{{9}^{x}}}$=${log}_{9}^{（1+\frac{1}{{9}^{x}}）}$，
任取x₁、x₂∈R，且x₁＜x₂，則0＜${9}^{{x}_{1}}$＜${9}^{{x}_{2}}$，從而$\frac{1}{{9}^{{x}_{1}}}$＞$\frac{1}{{9}^{{x}_{2}}}$．
于是${log}_{9}^{（1+\frac{1}{{9}^{{x}_{1}}}）}$＞${log}_{9}^{（1+\frac{1}{{9}^{{x}_{2}}}）}$，即g（x₁）＞g（x₂），
所以g（x）在（-∞，+∞）是單調(diào)減函數(shù)．
因?yàn)?+$\frac{1}{{9}^{x}}$＞1，所以g（x）=${log}_{9}^{（1+\frac{1}{{9}^{x}}）}$＞0．
所以b的取值范圍是（-∞，0]．
（3）由題意知方程3^x+$\frac{1}{{3}^{x}}$-$\frac{4}{3}$a有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根．
令3^x=t＞0，則關(guān)于t的方程（a-1）t²-$\frac{4}{3}$at-1=0（記為（*））
有且只有一個(gè)正根．
若a=1，則t=-$\frac{3}{4}$，不合，舍去；若a≠1，則方程（*）的兩根異號(hào)或有兩相等正根．
由△=0⇒a=$\frac{3}{4}$或-3；但a=$\frac{3}{4}$⇒t=-$\frac{1}{2}$，不合，舍去；而a=-3⇒t=$\frac{1}{2}$；
方程（*）的兩根異號(hào)?（a-1）•（-1）＜0，即-a+1＜0，解得：a＞1．
綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍{-3}∪（1，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的奇偶性問題，考查函數(shù)的單調(diào)性以及最值問題，考查轉(zhuǎn)化思想，是一道中檔題．