10．在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，cos2$\frac{A}{2}$=$\frac{b+c}{2c}$，則△ABC的形狀一定是（　�。�
A．正三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等腰直角三角形

分析 在△ABC中，利用二倍角的余弦與正弦定理可將已知cos2$\frac{A}{2}$=$\frac{b+c}{2c}$，轉(zhuǎn)化為cosA=$\frac{sinB}{sinC}$，整理即可判斷△ABC的形狀．

解答 解：在△ABC中，∵cos2$\frac{A}{2}$=$\frac{b+c}{2c}$，
∴$\frac{1+cosA}{2}$=$\frac{sinB+sinC}{2sinC}$=$\frac{1}{2}$$•\frac{sinB}{sinC}$+$\frac{1}{2}$
∴1+cosA=$\frac{sinB}{sinC}$+1，即cosA=$\frac{sinB}{sinC}$，
∴cosAsinC=sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC，
∴sinAcosC=0，sinA≠0，
∴cosC=0，
∴C為直角．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角形的形狀判斷，著重考查二倍角的余弦與正弦定理，誘導(dǎo)公式的綜合運(yùn)用，屬于中檔題．

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A．（-∞，-2）∪（-2，3]B．[-8，-2）∪（-2，1]C．[-$\frac{9}{2}$，-2）∪（-2，0]D．[-$\frac{9}{2}$，-2]

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