Question

10．某中學隨機抽取50名高一學生調(diào)查其每天運動的時間（單位：分鐘），并將所得數(shù)據(jù)繪制成頻率分布直方圖（如圖），其中，運動
的時間的范圍是[0，100]，樣本數(shù)據(jù)分組為[0，20），[20，40），[40，60），[60，80），[80，100]．
（1）求直方圖中x的值；
（2）定義運動的時間不少于1小時的學生稱為“熱愛運動”，若該校有高一學生1200人，請估計有多少學生“熱愛運動”；
（3）設m，n表示在抽取的50人中某兩位同學每大運動的時間，且已知m，n∈[40，60）∪[80，100]，求事件“|m-n|＞20”的概率．

Answer 1

分析 （1）由頻率分布直方圖中小矩形面積之和為1的性質(zhì)能求出x．
（2）由頻率分布圖求出運動時間不少于1小時的頻率，由此能估計有多少名學生“熱愛運動”．
（3）由直方圖得成績在[40，60）的人數(shù)為3人，成績在[80，100]的人數(shù)為2人，利用列舉法能求出事件“|m-n|＞20”的概率．

解答 解：（1）由頻率分布直方圖，得：20×（0.002+0.003×2+x+0.025）=1，
解得x=0.017．
（2）由頻率分布圖得運動時間不少于1小時的頻率為：
20×（0.002+0.003）=0.1，
∴估計有1200×0.1=120名學生“熱愛運動”；
（3）由直方圖得成績在[40，60）的人數(shù)為50×20×0.003=3人，設為A、B、C，
成績在[80，100]的人數(shù)為50×20×0.002=2人，設為x，y，
若m，n∈[40，60），[80，100]內(nèi)時，則有Ax，Ay，Bx，By，Cx，Cy，共有6種情況，
所以基本事件總數(shù)為10種，
事件“|m-n|＞20”所包含的基本事件個數(shù)有6種，
∴P（|m-n|＞20）=$\frac{6}{10}=\frac{3}{5}$．

點評 本題考查頻率分布直方圖的應用，考查概率的求法，是基礎題，解題時要認真審題，注意列舉法的合理運用．