Question

6．在直角坐標(biāo)系內(nèi)，點(diǎn)A（x，y） 實(shí)施變換f后，對(duì)應(yīng)點(diǎn)為A₁（y，x），給出以下命題：
①圓x²+y²=r²（r≠0）上任意一點(diǎn)實(shí)施變換f后，對(duì)應(yīng)點(diǎn)的軌跡仍是圓x²+y²=r²；
②若直線y=kx+b上每一點(diǎn)實(shí)施變換f后，對(duì)應(yīng)點(diǎn)的軌跡方程仍是y=kx+b，則k=-1；
③曲線C：y=lnx-x（x＞0）上每一點(diǎn)實(shí)施變換f后，對(duì)應(yīng)點(diǎn)的軌跡是曲線C₁，M是曲線C上的任意一點(diǎn)，N是曲線C₁上的任意一點(diǎn)，則|MN|的最小值為$\sqrt{2}$（1+ln2）．
以上正確命題的序號(hào)是①（寫出全部正確命題的序號(hào)）．

Answer 1

分析 本題的關(guān)鍵是理解點(diǎn)A（x，y）實(shí)施變換f后，對(duì)應(yīng)點(diǎn)為A₁（y，x）這一變換過程，針對(duì)每一個(gè)方程給出變換后的正確方程．

解答 解：①圓x²+y²=r²（r≠0）上任意一點(diǎn)實(shí)施變換f后，
顯然互換x，y后，對(duì)應(yīng)點(diǎn)的軌跡仍是圓x²+y²=r²（r≠0）；
∴①正確；
②若直線y=kx+b上每一點(diǎn)實(shí)施變換f后，互換x，y后，對(duì)應(yīng)點(diǎn)的軌跡方程：x=ky+b，若應(yīng)點(diǎn)的軌跡方程仍是y=kx+b，那么k=±1且b=0，不正確；
③曲線C：y=lnx-x（x＞0）上每一點(diǎn)實(shí)施變換f后，對(duì)應(yīng)點(diǎn)的軌跡是曲線C₁：x=lny-y（y＞0）
∵y=lnx-x（x＞0），∴y′=$\frac{1}{x}$-1=1，可得x=1，此時(shí)y=-1，
∴與y=x平行且與曲線C相切的直線方程為y+1=x-1，即x-y-2=0，
∴兩條直線的距離為$\frac{2}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$
利用對(duì)稱性可知，則|MN|的最小值為2$\sqrt{2}$．故不正確；
故答案為：①．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是學(xué)生的創(chuàng)新能力，是一道高考常見的題型．