Question

7．已知直線l₁過點(diǎn)P（1，4）且與x軸交于A點(diǎn)，直線l₂過點(diǎn)Q（3，-1）且與y軸交于B點(diǎn)，若l₁⊥l₂，且$\overrightarrow{AM}=2\overrightarrow{MB}$，則點(diǎn)M的軌跡方程為9x+6y+1=0．

Answer 1

分析 先設(shè)M（x，y），可討論l₁是否存在斜率：（1）不存在斜率時(shí)，可求出A（1，0），B（0，-1），從而由$\overrightarrow{AM}=2\overrightarrow{MB}$可以求出x=$\frac{1}{3}，y=-\frac{2}{3}$，即點(diǎn)M（$\frac{1}{3}，-\frac{2}{3}$），（2）存在斜率時(shí)，可設(shè)斜率為k，從而可以分別寫出直線l₁，l₂的方程，從而可以求出$A（-\frac{4}{k}+1，0），B（0，\frac{3}{k}-1）$，這樣根據(jù)$\overrightarrow{AM}=2\overrightarrow{MB}$便可用k分別表示出x，y，這樣消去k便可得出關(guān)于x，y的方程，并驗(yàn)證點(diǎn)$M（\frac{1}{3}，-\frac{2}{3}）$是否滿足該方程，從而便得出點(diǎn)M的軌跡方程．

解答 解：設(shè)M（x，y），
（1）若l₁不存在斜率，則：l₁垂直x軸，l₂垂直y軸；
∴A（1，0），B（0，-1）；
∴由$\overrightarrow{AM}=2\overrightarrow{MB}$得，（x-1，y）=2（-x，-1-y）；
∴$\left\{\begin{array}{l}{x-1=-2x}\\{y=-2-2y}\end{array}\right.$；
∴$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{3}}\\{y=-\frac{2}{3}}\end{array}\right.$；
即$M（\frac{1}{3}，-\frac{2}{3}）$；
（2）若l₁斜率為k，l₂斜率為$-\frac{1}{k}$，則：
l₁：y-4=k（x-1），令y=0，x=$-\frac{4}{k}+1$；
∴$A（-\frac{4}{k}+1，0）$；
l₂：$y+1=-\frac{1}{k}（x-3）$，令x=0，y=$\frac{3}{k}-1$；
∴$B（0，\frac{3}{k}-1）$；
∴由$\overrightarrow{AM}=2\overrightarrow{MB}$得，$（x+\frac{4}{k}-1，y）=2（-x，\frac{3}{k}-1-y）$；
∴$\left\{\begin{array}{l}{x+\frac{4}{k}-1=-2x}\\{y=\frac{6}{k}-2-2y}\end{array}\right.$；
∴消去k并整理得：9x+6y+1=0；
點(diǎn)$M（\frac{1}{3}，-\frac{2}{3}）$滿足方程9x+6y+1=0；
綜（1）（2）知，點(diǎn)M的軌跡方程為9x+6y+1=0．
故答案為：9x+6y+1=0．

點(diǎn)評(píng) 考查直線垂直于x軸時(shí)不存在斜率，相互垂直的直線的斜率關(guān)系，根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)求向量的坐標(biāo)，向量坐標(biāo)的數(shù)乘運(yùn)算，以及直線的點(diǎn)斜式方程，求直線和x，y軸交點(diǎn)的方法，注意不要忘了斜率不存在的情況．