11.設(shè)從點P(a,b)分別向橢圓$\frac{{x}^{2}}{4}$+y2=1與雙曲線x2-$\frac{{y}^{2}}{4}$=1作兩條切線PA、PB,PC、PD切點分別為A,B,C,D,若AB⊥CD,則$\frac{a}$=±1.

分析 分別設(shè)切點A(x1,y1),B(x2,y2).可得過點A,B的切線方程為:$\frac{{x}_{1}x}{4}$+y1y=1;$\frac{{x}_{2}x}{4}$+y2y=1,由于都經(jīng)過點P(a,b),可得:$\frac{{x}_{1}a}{4}+{y}_{1}b$=1,$\frac{{x}_{2}a}{4}+{y}_{2}b$=1.可得kAB=$\frac{{y}_{2}-{y}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$=$-\frac{a}{4b}$.同理可得:kCD=$\frac{4a}$.再利用相互垂直的直線斜率之間的關(guān)系即可得出.

解答 解:分別設(shè)切點A(x1,y1),B(x2,y2).
由于橢圓方程為:$\frac{{x}^{2}}{4}$+y2=1.
則過點A,B的切線方程為:$\frac{{x}_{1}x}{4}$+y1y=1;$\frac{{x}_{2}x}{4}$+y2y=1,
由于都經(jīng)過點P(a,b),可得:$\frac{{x}_{1}a}{4}+{y}_{1}b$=1,$\frac{{x}_{2}a}{4}+{y}_{2}b$=1.
∴$\frac{({x}_{2}-{x}_{1})a}{4}$+(y2-y1)b=0,∴kAB=$\frac{{y}_{2}-{y}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$=$-\frac{a}{4b}$.
同理可得:kCD=$\frac{4a}$.
∵AB⊥CD,∴kAB•kCD=$-\frac{a}{4b}$$•\frac{4a}$=-1,
則$\frac{a}$=±1.
故答案為:±1.

點評 本題考查了橢圓與雙曲線的切線方程、相互垂直的直線斜率之間的關(guān)系,考查了推理能力與計算能力,屬于中檔題.

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