Question

11．設(shè)從點P（a，b）分別向橢圓$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1與雙曲線x²-$\frac{{y}^{2}}{4}$=1作兩條切線PA、PB，PC、PD切點分別為A，B，C，D，若AB⊥CD，則$\frac{a}$=±1．

Answer 1

分析 分別設(shè)切點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．可得過點A，B的切線方程為：$\frac{{x}_{1}x}{4}$+y₁y=1；$\frac{{x}_{2}x}{4}$+y₂y=1，由于都經(jīng)過點P（a，b），可得：$\frac{{x}_{1}a}{4}+{y}_{1}b$=1，$\frac{{x}_{2}a}{4}+{y}_{2}b$=1．可得k_AB=$\frac{{y}_{2}-{y}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$=$-\frac{a}{4b}$．同理可得：k_CD=$\frac{4a}$．再利用相互垂直的直線斜率之間的關(guān)系即可得出．

解答 解：分別設(shè)切點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
由于橢圓方程為：$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1．
則過點A，B的切線方程為：$\frac{{x}_{1}x}{4}$+y₁y=1；$\frac{{x}_{2}x}{4}$+y₂y=1，
由于都經(jīng)過點P（a，b），可得：$\frac{{x}_{1}a}{4}+{y}_{1}b$=1，$\frac{{x}_{2}a}{4}+{y}_{2}b$=1．
∴$\frac{（{x}_{2}-{x}_{1}）a}{4}$+（y₂-y₁）b=0，∴k_AB=$\frac{{y}_{2}-{y}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$=$-\frac{a}{4b}$．
同理可得：k_CD=$\frac{4a}$．
∵AB⊥CD，∴k_AB•k_CD=$-\frac{a}{4b}$$•\frac{4a}$=-1，
則$\frac{a}$=±1．
故答案為：±1．

點評 本題考查了橢圓與雙曲線的切線方程、相互垂直的直線斜率之間的關(guān)系，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．