Question

4．若變量x，y滿足約束條件$\left\{\begin{array}{l}{y≤x}\\{x+y≤4}\\{y≥1}\end{array}\right.$，則z=$\frac{1}{2}$x+y的取值范圍為[$\frac{3}{2}$，3]．

Answer 1

分析 由約束條件作出可行域，化目標(biāo)函數(shù)為直線方程的斜截式，數(shù)形結(jié)合得到最優(yōu)解，聯(lián)立方程組求得最優(yōu)解的坐標(biāo)，代入目標(biāo)函數(shù)得答案．

解答 解：由約束條件$\left\{\begin{array}{l}{y≤x}\\{x+y≤4}\\{y≥1}\end{array}\right.$作出可行域如圖，

聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=1}\\{y=x}\end{array}\right.$，解得A（1，1），
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=x}\\{x+y=4}\end{array}\right.$，解得B（2，2），
化z=$\frac{1}{2}$x+y為y=-$\frac{1}{2}x+z$，
由圖可知，當(dāng)直線y=-$\frac{1}{2}x+z$過A時，直線在y軸上的截距最小，z有最小值為$\frac{3}{2}$；
當(dāng)直線y=-$\frac{1}{2}x+z$過B時，直線在y軸上的截距最大，z有最大值為3．
故答案為：[$\frac{3}{2}，3$]．

點(diǎn)評 本題考查簡單的線性規(guī)劃，考查了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，是中檔題．