Question

2．已知函數(shù)f（x）是R上的奇函數(shù)，當x＞0時，f（x）=$\frac{1}{2}$（|x+$\frac{1}{2}$tanα|+|x+tanα|+$\frac{3}{2}$tanα）（α為常數(shù)，且-$\frac{π}{2}$＜α＜$\frac{π}{2}$），若?x∈R，都有f（x-3）≤f（x）恒成立，則實數(shù)α的取值范圍是-$\frac{π}{4}$≤α＜$\frac{π}{2}$．

Answer 1

分析 令t=$\frac{1}{2}$tanα，討論t，把x≥0時的f（x）改寫成分段函數(shù)，求出其最小值，由函數(shù)的奇偶性可得x＜0時的函數(shù)的最大值，由對x∈R，都有f（x-3）≤f（x），可得-2t-（4t）≤3，求解該不等式得答案．

解答 解：令t=$\frac{1}{2}$tanα，則當x＞0時，f（x）=$\frac{1}{2}$（|x+t|+|x+2t|+3t），
若t≥0，則當x＞0時，f（x）=x+3t，
當x＜0時，f（x）=-f（-x）=-（-x+3t）=x-3t，
由f（x-3）≤f（x）恒成立，可得y=f（x）的圖象恒在y=f（x-3）的圖象上方，
則$\frac{1}{2}$tanα≥0；
當t＜0時，當x≥0時，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-x，x≤-t}\\{t，-t＜x＜-2t}\\{x+3t，x≥-2t}\end{array}\right.$，
∴由f（x）=0可得x=-3t，即y=f（x）與x軸右側(cè)的交點A（-3t，0）；
又y=f（x）為奇函數(shù)，故y=f（x）與x軸左側(cè)的交點B（3t，0），|AB|=-6t．
由f（x）=x+3t，x≥-2t，得f（x）≥t；
當-t＜x＜-2t時，f（x）=t；由f（x）=-x，0≤x≤-t，得f（x）≥t．
∴當x＞0時，f（x）_min=t．
∵函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，
∴當x＜0時，f（x）_max=-t．
∵對x∈R，都有f（x-3）≤f（x），
∴-3t-3t≤3，解得-$\frac{1}{2}$≤t＜0，
即有-$\frac{1}{2}$≤$\frac{1}{2}$tanα＜0，
綜上可得tanα≥-1，
解得-$\frac{π}{4}$+kπ≤α＜kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z．
故答案為：-$\frac{π}{4}$≤α＜$\frac{π}{2}$．

點評 本題考查了恒成立問題，考查了函數(shù)奇偶性的性質(zhì)，運用了轉(zhuǎn)化思想，對任意的實數(shù)x，都有f（x-3）≤f（x）成立的理解與應(yīng)用是關(guān)鍵，也是難點，屬于難題．