Question

4．已知函數f（x）=lnx+2x-6．
（1）證明：函數f（x）在其定義域上是增函數；
（2）證明：函數f（x）有且只有一個零點；
（2）求該零點所在的一個區(qū)間，使這個區(qū)間的長度不超過$\frac{1}{4}$．

Answer 1

分析 （1）利用導數判斷函數的單調性，
（2）由零點判定定理判斷即可證明．
（3）由（3）知，該零點在區(qū)間（2，3）上，從而利用二分法確定區(qū)間．

解答 證明：（1）f（x）=lnx+2x-6，
∴函數的定義域為x＞0，
∴f′（x）=$\frac{1}{x}$+2＞0恒成立，
∴函數f（x）在其定義域上是增函數，
（2）∵f（2）=ln2-2＜0，f（3）=ln3＞0，
∵函數f（x）在其定義域上是增函數，
∴函數f（x）有且只有一個零點；
（3）有（2）知，該零點在區(qū)間（2，3）上，
f（$\frac{5}{2}$）=ln$\frac{5}{2}$-1＜0，
故該零點在區(qū)間（$\frac{5}{2}$，3）上，
f（$\frac{11}{4}$）=ln$\frac{11}{4}$-0.5＞0，
故該零點在區(qū)間（$\frac{5}{2}$，$\frac{11}{4}$）上．

點評 本題考查了導數和函數的單調性的關系，函數的零點的個數的判斷與二分法的應用，屬于中檔題．