15．已知點(diǎn)F（2，0）是橢圓3kx²+y²=1的一個焦點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的值是$\frac{1}{15}$．

14．已知橢圓$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}$=1的弦AB的中點(diǎn)為M（3，2）．坐標(biāo)原點(diǎn)為O．
（1）求直線AB的方程；   
（2）求△AOB的面積．

13．如圖，橢圓M：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{1}{2}$，直線x=±a和y=±b所圍成的矩形ABCD的面積為32$\sqrt{3}$．
（1）求橢圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）已知N（1，0），若過點(diǎn)N的直線交橢圓M于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，且-$\frac{27}{2}$≤$\overrightarrow{NE}$•$\overrightarrow{NF}$≤-12，求直線的斜率的取值范圍．

12．直線l與橢圓$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{x}^{2}}{^{2}}=1$（a＞b＞0）交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）兩點(diǎn)，已知向量$\overrightarrow{m}$=（ax₁，by₁），$\overrightarrow{n}$=（ax₂，by₂），若$\overrightarrow{m}⊥\overrightarrow{n}$，且橢圓離心率e=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，又橢圓經(jīng)過點(diǎn)（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1），0為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（1）求橢圓的方程；
（2）求證：△AOB的面積為定值．
（3）若直線l在y軸上截距為1，在y軸上是否存在點(diǎn)P（0，λ）使得以PA，PB為鄰邊的平行四邊形是菱形，如果存在，求出λ的取值范圍，如果不存在，說明理由．

11．已知橢圓$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$的左頂點(diǎn)為A，右焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)F的直線交橢圓于B，C兩點(diǎn)．
（Ⅰ）求該橢圓的離心率；
（Ⅱ）設(shè)直線AB和AC分別與直線x=4交于點(diǎn)M，N，問：x軸上是否存在定點(diǎn)P使得MP⊥NP？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

10．由橢圓的兩個焦點(diǎn)和短軸的一個頂點(diǎn)組成的三角形稱為該橢圓的“特征三角形”．如果兩個橢圓的“特征三角形”是相似的，則稱這兩個橢圓是“相似橢圓”，并將三角形的相似比稱為橢圓的相似比．已知橢圓C₁：$\frac{x^2}{4}+{y^2}$=1．
（1）若橢圓C₂：$\frac{x^2}{16}+{\frac{y}{4}^2}$=1，判斷C₂與C₁是否相似？如果相似，求出C₂與C₁的相似比；如果不相似，請說明理由；
（2）寫出與橢圓C₁相似且短半軸長為b的橢圓C_b的方程；若在橢圓C_b上存在兩點(diǎn)M、N關(guān)于直線y=x+1對稱，求實(shí)數(shù)b的取值范圍．

9．已知圓C在x軸上的截距為-1和3，在y軸上的一個截距為1．則圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x-1）²+（y+1）²=5．

8．中心在坐標(biāo)原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上的橢圓E經(jīng)過兩點(diǎn)$R（{-\frac{{\sqrt{3}}}{2}，-\frac{{\sqrt{6}}}{2}}），Q（{\frac{3}{2}，\frac{{\sqrt{2}}}{2}}）$．分別過橢圓E的焦點(diǎn)F₁、F₂的動直線l₁，l₂相交于P點(diǎn)，與橢圓E分別交于A、B與C、D不同四點(diǎn)，直線OA、OB、OC、OD的斜率k₁、k₂、k₃、k₄滿足k₁+k₂=k₃+k₄．
（1）求橢圓E的方程；
（2）是否存在定點(diǎn)M、N，使得|PM|+|PN|為定值．若存在，求出M、N點(diǎn)坐標(biāo)并求出此定值，若不存在，說明理由．

7．設(shè)集合u={（x，y）|x∈R，y∈R}，A={（x，y）|2x-y+m≥0}，B={（x，y）|x+y-n＞0}，若點(diǎn)P（2，3）∈A∩C_uB，則m+n的最小值為（　�。�

A．

-6

B．

1

C．

4

D．

5

6．已知圓柱的底面半徑為4，用與圓柱底面成30°角的平面截這個圓柱得到一個橢圓，建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和離心率．