5．已知x²+y²=a，m²+n²=b（a＞0，b＞0），求證：mx+ny≤$\frac{a+b}{2}$．

4．已知a，b∈R⁺，且a≥b
求證：b≤$\sqrt{\frac{2}{\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{1}{^{2}}}}$≤$\frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}}$≤$\sqrt{ab}$≤$\frac{a+b}{2}$≤$\sqrt{\frac{{a}^{2}{+b}^{2}}{2}}$≤a．

3．已知n∈N^*，n≥2，求證：1+$\frac{1}{\sqrt{2}}$+$\frac{1}{\sqrt{3}}$+…+$\frac{1}{\sqrt{n}}$＜2$\sqrt{n}$．

2．設(shè)a≥0，b≥0，且a≠b，求證：對(duì)于任意正數(shù)p都有[$\frac{a+pb}{p+1}$]²＜$\frac{{a}^{2}+p^{2}}{p+1}$．

1．已知a，b，c，d∈（0，+∞），求證：$\frac{ad+bc}{bd}$+$\frac{bc+ad}{ac}$≥4．

20．如圖，直線l過拋物線y²=4x的交點(diǎn)F且分別交拋物線及其準(zhǔn)線于A，B，C，若$\frac{BF}{BC}=\frac{{\sqrt{5}}}{5}$，則|AB|等于（　�。�

A．

5

B．

6

C．

$4\sqrt{3}$

D．

8

19．設(shè)M為直線x-y-1=0上的動(dòng)點(diǎn)，過M作拋物線y=x²的切線，切點(diǎn)分別為A，B．
（1）求證：直線AB過定點(diǎn)．
（2）求△ABM面積S的最小值，并求此時(shí)取得最小值時(shí)M的坐標(biāo)．

18．已知A、B為拋物線C：y²=4x上的不同的兩點(diǎn)，且$\overrightarrow{FA}+4\overrightarrow{FB}=\overrightarrow 0$，則$|{\overrightarrow{AB}}|$=（　　）

A．

$\frac{25}{3}$

B．

$\frac{25}{8}$

C．

$\frac{100}{9}$

D．

$\frac{25}{4}$

17．設(shè)雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的一條漸近線與拋物線y²=4x的準(zhǔn)線的一個(gè)交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為y₀，若|y₀|＜2，則雙曲線C的離心率的取值范圍是（　�。�

A．

（1，$\sqrt{3}$）

B．

（1，$\sqrt{5}$）

C．

（$\sqrt{3}$，+∞）

D．

（$\sqrt{5}$，+∞）

16．德國(guó)數(shù)學(xué)家科拉茨1937年提出了一個(gè)著名的猜想：任給一個(gè)正整數(shù)n，如果n是偶數(shù)，就將它減半（即$\frac{n}{2}$）；如果n是奇數(shù)，則將它乘3加1（即3n+1），不斷重復(fù)這樣的運(yùn)算，經(jīng)過有限步后，一定可以得到1．對(duì)于科拉茨猜想，目前誰也不能證明，也不能否定，現(xiàn)在請(qǐng)你研究：如果對(duì)正整數(shù)n（首項(xiàng)）按照上述規(guī)則施行變換后的第8項(xiàng)為1（注：1可以多次出現(xiàn)），則n的所有不同值的個(gè)數(shù)為（　　）

A．

4

B．

6

C．

32

D．

128