【題目】某“芝麻開門”娛樂活動(dòng)中，共有扇門，游戲者根據(jù)規(guī)則開門，并根據(jù)打開門的數(shù)量獲取相應(yīng)獎(jiǎng)勵(lì)．已知開每扇門相互獨(dú)立，且規(guī)則相同，開每扇門的規(guī)則是：從給定的把鑰匙（其中有且只有把鑰匙能打開門）中，隨機(jī)地逐把抽取鑰匙進(jìn)行試開，鑰匙使用后不放回．若門被打開，則轉(zhuǎn)為開下一扇門；若連續(xù)次未能打開，則放棄這扇門，轉(zhuǎn)為開下一扇門；直至扇門都進(jìn)行了試開，活動(dòng)結(jié)束．

（1）設(shè)隨機(jī)變量為試開第一扇門所用的鑰匙數(shù)，求的分布列及數(shù)學(xué)期望；

（2）求恰好成功打開扇門的概率．

【題目】已知函數(shù)，，其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．

（1）若函數(shù)的極大值為，求實(shí)數(shù)a的值；

（2）當(dāng)a＝e時(shí)，若曲線與在處的切線互相垂直，求的值；

（3）設(shè)函數(shù)，若＞0對(duì)任意的x(0，1)恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

【題目】已知是各項(xiàng)均為正數(shù)的無窮數(shù)列，數(shù)列滿足(n)，其中常數(shù)k為正整數(shù)．

（1）設(shè)數(shù)列前n項(xiàng)的積，當(dāng)k＝2時(shí)，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（2）若是首項(xiàng)為1，公差d為整數(shù)的等差數(shù)列，且＝4，求數(shù)列的前2020項(xiàng)的和；

（3）若是等比數(shù)列，且對(duì)任意的n，，其中k≥2，試問：是等比數(shù)列嗎？請(qǐng)證明你的結(jié)論．

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓(a＞b＞0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F2，過點(diǎn)F2的直線交橢圓于M，N兩點(diǎn)．已知橢圓的短軸長(zhǎng)為，離心率為．

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）當(dāng)直線MN的斜率為時(shí)，求的值；

（3）若以MN為直徑的圓與x軸相交的右交點(diǎn)為P(t，0)，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．

【題目】某單位科技活動(dòng)紀(jì)念章的結(jié)構(gòu)如圖所示，O是半徑分別為1cm，2cm的兩個(gè)同心圓的圓心，等腰△ABC的頂點(diǎn)A在外圓上，底邊BC的兩個(gè)端點(diǎn)都在內(nèi)圓上，點(diǎn)O，A在直線BC的同側(cè)．若線段BC與劣弧所圍成的弓形面積為S1，△OAB與△OAC的面積之和為S2， 設(shè)∠BOC＝2．

（1）當(dāng)時(shí)，求S2﹣S1的值；

（2）經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)當(dāng)S2﹣S1的值最大時(shí)，紀(jì)念章最美觀，求當(dāng)紀(jì)念章最美觀時(shí)，cos的值．（求導(dǎo)參考公式：(sin2x)'＝2cos2x，(cos2x)'＝﹣2sin2x）

（1）平面ACD⊥平面BCC1B1；

（2）B1E∥平面ACD．

【題目】已知函數(shù)，.

（1）證明：不等式在恒成立；

（2）證明：在存在兩個(gè)極值點(diǎn)，

附：，，.

【題目】某城市對(duì)一項(xiàng)惠民市政工程滿意程度（分值：分）進(jìn)行網(wǎng)上調(diào)查，有2000位市民參加了投票，經(jīng)統(tǒng)計(jì)，得到如下頻率分布直方圖（部分圖）：

現(xiàn)用分層抽樣的方法從所有參與網(wǎng)上投票的市民中隨機(jī)抽取位市民召開座談會(huì)，其中滿意程度在的有5人．

（1）求的值，并填寫下表（2000位參與投票分?jǐn)?shù)和人數(shù)分布統(tǒng)計(jì)）；

（2）求市民投票滿意程度的平均分（各分?jǐn)?shù)段取中點(diǎn)值）；

（3）若滿意程度在的5人中恰有2位為女性，座談會(huì)將從這5位市民中任選兩位發(fā)言，求男性甲或女性乙被選中的概率．

【題目】已知拋物線的焦點(diǎn)到直線的距離為，過點(diǎn)的直線與交于、兩點(diǎn).

（1）求拋物線的準(zhǔn)線方程；

（2）設(shè)直線的斜率為，直線的斜率為，若，且與的交點(diǎn)在拋物線上，求直線的斜率和點(diǎn)的坐標(biāo).

【題目】已知拋物線的焦點(diǎn)到直線的距離為，過點(diǎn)的直線與交于、兩點(diǎn).

（1）求拋物線的準(zhǔn)線方程；

（2）設(shè)直線的斜率為，直線的斜率為，若，且與的交點(diǎn)在拋物線上，求直線的斜率和點(diǎn)的坐標(biāo).