1.橢圓：（a>b>0）
　�。�1）范圍：|x|≤a，|y|≤b     　（2）頂點(diǎn)：(±a,0)，(0,±b) 　　（3）焦點(diǎn)：(±c,0)
　�。�4）離心率：e=∈(0,1) 　�。�5）準(zhǔn)線：

2.雙曲線：（a>0, b>0）
�。�1）范圍：|x|≥a, y∈R 　　     （2）頂點(diǎn)：(±a,0) 　 �。�3）焦點(diǎn)：(±c,0)
�。�4）離心率：∈(1,+∞) 　�。�5）準(zhǔn)線：　�。�6）漸近線：

3.拋物線：y²=2px(p>0)
　�。�1）范圍：x≥0, y∈R 　　（2）頂點(diǎn)：（0,0） 　�。�3）焦點(diǎn)：（,0）

�。�4）離心率：e=1 　   　（5）準(zhǔn)線：x=-

主要題型：

（1）定義及簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)的靈活運(yùn)用；

（2）求曲線方程（含指定圓錐曲線方程及軌跡方程）。

★★★突破重難點(diǎn)

【例1】若F₁、F₂為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P在雙曲線的左支上，點(diǎn)M在雙曲線的右準(zhǔn)線上，且滿足：

，

則該雙曲線的離心率為（    ）

A．             B．              C．               D．3

解：由知四邊形F₁OMP是平行四邊形，又

知OP平分∠F₁OM，即F₁OMP是菱形，設(shè)|OF₁|=c，則|PF₁|=c.

又|PF₂|-|PF₁|=2a，    ∴|PF₂|=2a+c，

由雙曲線的第二定義知,且e>1，∴e=2，故選C.

【例2】學(xué)�？萍夹〗M在計(jì)算機(jī)上模擬航天器變軌返回試驗(yàn). 設(shè)計(jì)方案如圖：航天器運(yùn)行（按順時(shí)針?lè)较颍┑能壽E方程為，變軌（即航天器運(yùn)行軌跡由橢圓變?yōu)閽佄锞�）后返回的軌跡是以軸為對(duì)稱軸、 為頂點(diǎn)的拋物線的實(shí)線部分，降落點(diǎn)為. 觀測(cè)點(diǎn)同時(shí)跟蹤航天器.

（1）求航天器變軌后的運(yùn)行軌跡所在的曲線方程；

（2）試問(wèn)：當(dāng)航天器在軸上方時(shí)，觀測(cè)點(diǎn)測(cè)得離航天器的距離分別為多少時(shí)，應(yīng)向航天器發(fā)出變軌指令？

解：（1）設(shè)曲線方程為，   由題意可知，.   . 

  曲線方程為.

（2）設(shè)變軌點(diǎn)為，根據(jù)題意可知

得 ，

或（不合題意，舍去）.

   .

   得 或（不合題意，舍去）.  

點(diǎn)的坐標(biāo)為，.

答：當(dāng)觀測(cè)點(diǎn)測(cè)得距離分別為時(shí)，應(yīng)向航天器發(fā)出指令.

【例3】如圖1，已知A、B、C是長(zhǎng)軸為4的橢圓上三點(diǎn)，點(diǎn)A是長(zhǎng)軸的一個(gè)頂點(diǎn)，BC過(guò)橢圓中心O，且，。

（1）建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求橢圓方程；

（2）如果橢圓上兩點(diǎn)P、Q使直線CP、CQ與x軸圍

成底邊在x軸上的等腰三角形，是否總存在實(shí)數(shù)l

使？請(qǐng)給出證明。

解：（1）以O為原點(diǎn)，OA所在的直線為x軸建立如

圖直角坐標(biāo)系，則A（2，0），橢圓方程可設(shè)為

。

而O為橢圓中心，由對(duì)稱性知|OC|=|OB|

又，所以AC⊥BC

又，所以|OC|＝|AC|，

所以△AOC為等腰直角三角形，所以點(diǎn)C坐標(biāo)為（1，1）。將（1，1）代入橢圓方程得，則橢圓方程為。

（2）由直線CP、CQ與x軸圍成底邊在x軸上的等腰三角形，設(shè)直線CP的斜率為k，則直線CQ的斜率為－k，直線CP的方程為y-1=k(x-1)，直線CQ的方程為y-1=-k(x-1)。由橢圓方程與直線CP的方程聯(lián)立，消去y得

 (1+3k²)x²-6k(k-1)x+3k²-6k-1=0①

因?yàn)?i>C（1，1）在橢圓上，所以x＝1是方程①的一個(gè)根，于是

  同理

這樣，， 又B（－1，－1），所以，

即k_AB=k_PQ。所以PQ∥AB，存在實(shí)數(shù)l使。

【例4】如圖，直線l₁和l₂相交于點(diǎn)M，l₁ ⊥l₂，點(diǎn)N∈l₁．以A、B為端點(diǎn)的曲線段C上的任一點(diǎn)到l₂的距離與到點(diǎn)N的距離相等．若△AMN為銳角三角形，|AM|=，|AN|=3，且|BN|=6．建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求曲線C的方程．

解法一：如圖建立坐標(biāo)系，以l₁為x軸，MN的垂直平分線為y軸，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)．

依題意知：曲線段C是以點(diǎn)N為焦點(diǎn)，以l₂為準(zhǔn)線的拋線段的一段，其中A、B分別為C的端點(diǎn)．設(shè)曲線段C的方程為

y²=2px (p＞0)，(x_A≤x≤x_B，y＞0)，其中x_A，x_B分別為A，B的橫坐標(biāo)，P=|MN|．

所以 M (－，0)，N (，0)．     

由 |AM|=，|AN|=3得

(x_A＋)²＋2Px_A=17，    ①

(x_A－)²＋2Px_A=9．     ②  

由①、②兩式聯(lián)立解得x_A=，再將其代入①式并由p＞0解得

或．

因?yàn)椤?i>AMN是銳角三角形，所以＞x_A，故舍去．

∴ P=4，x_A=1．

由點(diǎn)B在曲線段C上，得x_B=|BN|－=4．

綜上得曲線段C的方程為y²=8x (1≤x≤4，y＞0)．

解法二：如圖建立坐標(biāo)系，分別以l₁、l₂為x、y軸，M為坐標(biāo)原點(diǎn)．

作AE⊥l₁，AD⊥l₂，BF⊥l₂，垂足分別為E、D、F．

設(shè) A (x_A，y_A)、B (x_B，y_B)、N (x_N，0)．

依題意有

x_A=|ME|=|DA|=|AN|=3，

y_A=|DM|==2，由于△AMN為銳角三角形，故有

x_N=|AE|+|EN|=4．

=|ME|+=4

X_B=|BF|=|BN|=6．   

設(shè)點(diǎn)P (x，y)是曲線段C上任一點(diǎn)，則由題意知P屬于集合

{(x，y)|(x－x_N)²+y²=x²，x_A≤x≤x_B，y＞0}．    

故曲線段C的方程

y²=8(x－2)(3≤x≤6，y＞0)．     

第十七講  圓錐曲線的定義、性質(zhì)和方程(二)

【例5】已知橢圓的長(zhǎng)、短軸端點(diǎn)分別為A、B，從此橢圓上一點(diǎn)M向x軸作垂線，恰好通過(guò)橢圓的左焦點(diǎn)F₁，向量與是共線向量。

（1）求橢圓的離心率e；

（2）設(shè)Q是橢圓上任意一點(diǎn)， F₁、F₂分別是左、右焦點(diǎn)，求∠F₁QF₂的取值范圍；

解：（1）∵，∴。

∵是共線向量，∴，∴b=c,故。

（2）設(shè)

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，cosθ=0，∴θ。

【例6】設(shè)P是雙曲線右支上任一點(diǎn).

   （1）過(guò)點(diǎn)P分別作兩漸近線的垂線，垂足分別為E，F，求的值；

   （2）過(guò)點(diǎn)P的直線與兩漸近線分別交于A、B兩點(diǎn)，且的面積.