例1 已知，求

解：因?yàn)?sub>，

所以

例2　求下列極限：(1)；(2)

解：(1)；

(2)

例3求下列極限：

　(1). (2). (3). (4).

解：(1).

(2) (方法一).

(方法二)∵n→∞，∴n≠0.分子、分母同除n的最高次冪.

.

第二個(gè)題目不能體現(xiàn)“分子、分母同除n的最高次冪”這個(gè)方法的優(yōu)勢(shì).這道題目就可以.使用上述方法就簡(jiǎn)單多了.因?yàn)榉帜干鲜?n²+2，有常數(shù)項(xiàng)，所以 (2)的方法一就不能用了.

(3).

規(guī)律一：一般地，當(dāng)分子與分母是關(guān)于n的次數(shù)相同的多項(xiàng)式時(shí)，這個(gè)公式在n→∞時(shí)的極限是分子與分母中最高次項(xiàng)的系數(shù)之比.

解：(4)分子、分母同除n的最高次冪即n⁴，得.

.

規(guī)律二：一般地，當(dāng)分子、分母都是關(guān)于n的多項(xiàng)式時(shí)，且分母的次數(shù)高于分子的次數(shù)時(shí)，當(dāng)n→∞時(shí)，這個(gè)分式極限為0.

例4求下列極限.

(1). (2). (3).

解：(1).

　(2).

　(3).

說(shuō)明：當(dāng)無(wú)限增大時(shí)，分式的分子、分母都無(wú)限增大，分子、分母都沒(méi)有極限，上面的極限運(yùn)算法則不能直接運(yùn)用兩個(gè)(或幾個(gè))函數(shù)(或數(shù)列)的極限至少有一個(gè)不存在，但它們的和、差、積、商的極限不一定不存在

2.推廣：上面法則可以推廣到有限多個(gè)數(shù)列的情況如，若，，有極限，則

1. 數(shù)列極限的運(yùn)算法則:

與函數(shù)極限的運(yùn)算法則類似, 如果那么

7. 對(duì)于函數(shù)極限有如下的運(yùn)算法則：

如果，那么,

,　 　

當(dāng)C是常數(shù)，n是正整數(shù)時(shí):,

這些法則對(duì)于的情況仍然適用

6.

5. 趨向于定值的函數(shù)極限概念：當(dāng)自變量無(wú)限趨近于()時(shí)，如果函數(shù)無(wú)限趨近于一個(gè)常數(shù)，就說(shuō)當(dāng)趨向時(shí)，函數(shù)的極限是，記作特別地，；

4.常數(shù)函數(shù)f(x)=c.(x∈R)，有f(x)=c.

f(x)存在，表示f(x)和f(x)都存在，且兩者相等.所以f(x)中的∞既有+∞，又有－∞的意義，而數(shù)列極限a_n中的∞僅有+∞的意義

3.函數(shù)極限的定義:

(1)當(dāng)自變量x取正值并且無(wú)限增大時(shí)，如果函數(shù)f(x)無(wú)限趨近于一個(gè)常數(shù)a，就說(shuō)當(dāng)x趨向于正無(wú)窮大時(shí)，函數(shù)f(x)的極限是a.

記作：f(x)=a，或者當(dāng)x→+∞時(shí)，f(x)→a.

(2)當(dāng)自變量x取負(fù)值并且絕對(duì)值無(wú)限增大時(shí)，如果函數(shù)f(x)無(wú)限趨近于一個(gè)常數(shù)a，就說(shuō)當(dāng)x趨向于負(fù)無(wú)窮大時(shí)，函數(shù)f(x)的極限是a.

記作f(x)=a或者當(dāng)x→－∞時(shí)，f(x)→a.

(3)如果f(x)=a且f(x)=a，那么就說(shuō)當(dāng)x趨向于無(wú)窮大時(shí)，函數(shù)f(x)的極限是a，記作：f(x)=a或者當(dāng)x→∞時(shí)，f(x)→a.

2.幾個(gè)重要極限：

　 (1)　　　　　 (2)(C是常數(shù))

　 (3)無(wú)窮等比數(shù)列()的極限是0，即 　　

1.數(shù)列極限的定義：

　 一般地，如果當(dāng)項(xiàng)數(shù)無(wú)限增大時(shí)，無(wú)窮數(shù)列的項(xiàng)無(wú)限趨近于某個(gè)常數(shù)，那么就說(shuō)數(shù)列以為極限.記作．