4．在應(yīng)用題背景條件下，能否把一個復(fù)雜事件分解為若干個互相排斥或相互獨立、既不重復(fù)又不遺漏的簡單事件是解答這類應(yīng)用題的關(guān)鍵，也是考查學(xué)生分析問題、解決問題的能力的重要環(huán)節(jié)。

3．對立事件是互斥事件的一種特殊情況，是指在一次試驗中有且僅有一個發(fā)生的兩個事件，集合A的對立事件記作，從集合的角度來看，事件所含結(jié)果的集合正是全集U中由事件A所含結(jié)果組成集合的補集，即A∪=U，A∩=.對立事件一定是互斥事件，但互斥事件不一定是對立事件。

事件A、B的和記作A+B，表示事件A、B至少有一個發(fā)生。當A、B為互斥事件時，事件A+B是由“A發(fā)生而B不發(fā)生”以及“B發(fā)生而A不發(fā)生”構(gòu)成的。

當計算事件A的概率P(A)比較困難時，有時計算它的對立事件的概率則要容易些，為此有P(A)=1－P()。

對于n個互斥事件A₁，A₂，…，A_n，其加法公式為P(A₁+A₂+…+A_n)=P(A₁)+P(A₂)+…+P(A_n)。

分類討論思想是解決互斥事件有一個發(fā)生的概率的一個重要的指導(dǎo)思想。

2．對于互斥事件要抓住如下的特征進行理解：

第一，互斥事件研究的是兩個事件之間的關(guān)系；

第二，所研究的兩個事件是在一次試驗中涉及的；

第三，兩個事件互斥是從試驗的結(jié)果不能同時出現(xiàn)來確定的。

本講概念性強、抽象性強、思維方法獨特。因此要立足于基礎(chǔ)知識、基本方法、基本問題的練習(xí)，恰當選取典型例題，構(gòu)建思維模式，造就思維依托和思維的合理定勢。

1．使用公式P(A)=計算時，確定m、n的數(shù)值是關(guān)鍵所在,其計算方法靈活多變,沒有固定的模式，可充分利用排列組合知識中的分類計數(shù)原理和分步計數(shù)原理，必須做到不重復(fù)不遺漏。

復(fù)習(xí)這部分內(nèi)容及解答此類問題首先必須使學(xué)生明確判斷兩點：(1)對于每個隨機實驗來說，所有可能出現(xiàn)的實驗結(jié)果數(shù)n必須是有限個；(2)出現(xiàn)的所有不同的實驗結(jié)果數(shù)m其可能性大小必須是相同的。只有在同時滿足(1)、(2)的條件下，運用的古典概型計算公式P(A)=m/n得出的結(jié)果才是正確的。

題型1：隨機事件的定義

例1．判斷下列事件哪些是必然事件，哪些是不可能事件，哪些是隨機事件？

(1)“拋一石塊，下落”.

(2)“在標準大氣壓下且溫度低于0℃時，冰融化”；

(3)“某人射擊一次，中靶”；

(4)“如果a＞b,那么a－b＞0”;

(5)“擲一枚硬幣，出現(xiàn)正面”；

(6)“導(dǎo)體通電后，發(fā)熱”；

(7)“從分別標有號數(shù)1，2，3，4，5的5張標簽中任取一張，得到4號簽”；

(8)“某電話機在1分鐘內(nèi)收到2次呼叫”；

(9)“沒有水份，種子能發(fā)芽”；

(10)“在常溫下，焊錫熔化”．

解析：根據(jù)定義，事件(1)、(4)、(6)是必然事件；事件(2)、(9)、(10)是不可能事件；事件(3)、(5)、(7)、(8)是隨機事件。

點評：熟悉必然事件、不可能事件、隨機事件的聯(lián)系與區(qū)別。針對不同的問題加以區(qū)分。

例2．(1)如果某種彩票中獎的概率為，那么買1000張彩票一定能中獎嗎？請用概率的意義解釋。

解析：不一定能中獎，因為，買1000張彩票相當于做1000次試驗，因為每次試驗的結(jié)果都是隨機的，即每張彩票可能中獎也可能不中獎，因此，1000張彩票中可能沒有一張中獎，也可能有一張、兩張乃至多張中獎。

點評：買1000張彩票，相當于1000次試驗，因為每次試驗的結(jié)果都是隨機的，所以做1000次試驗的結(jié)果也是隨機的，也就是說，買1000張彩票有可能沒有一張中獎。

(2)在一場乒乓球比賽前，裁判員利用抽簽器來決定由誰先發(fā)球，請用概率的知識解釋其公平性。

解析：這個規(guī)則是公平的，因為抽簽上拋后，紅圈朝上與綠圈朝上的概率均是0.5，因此任何一名運動員猜中的概率都是0.5，也就是每個運動員取得先發(fā)球權(quán)的概率都是0.5。

點評：這個規(guī)則是公平的，因為每個運動員先發(fā)球的概率為0.5，即每個運動員取得先發(fā)球權(quán)的概率是0.5。事實上，只能使兩個運動員取得先發(fā)球權(quán)的概率都是0.5的規(guī)則都是公平的。

題型2：頻率與概率

例3．某種菜籽在相同在相同的條件下發(fā)芽試驗結(jié)果如下表：(求其發(fā)芽的概率)

解析：我們根據(jù)表格只能計算不同情況下的種子發(fā)芽的頻率分別是：1，0.8，0.9，0.857，0.892，0.910，0.913，0.893，0.903，0.905。隨著種子粒數(shù)的增加，菜籽發(fā)芽的頻率越接近于0.9，且在它附近擺動。故此種子發(fā)芽的概率為0.9。

點評：我們可以用頻率的趨向近似值表示隨機事件發(fā)生的概率。

例4．進行這樣的試驗：從0、1、2、…、9這十個數(shù)字中隨機取一個數(shù)字，重復(fù)進行這個試驗10000次，將每次取得的數(shù)字依次記下來，我們就得到一個包括10000個數(shù)字的“隨機數(shù)表”．在這個隨機數(shù)表里，可以發(fā)現(xiàn)0、1、2、…、9這十個數(shù)字中各個數(shù)字出現(xiàn)的頻率穩(wěn)定在0.1附近．現(xiàn)在我們把一個隨機數(shù)表等分為10段，每段包括1000個隨機數(shù)，統(tǒng)計每1000個隨機數(shù)中數(shù)字“7”出現(xiàn)的頻率，得到如下的結(jié)果：

由上表可見，每1000個隨機數(shù)中“7”出現(xiàn)的頻率也穩(wěn)定在0.1的附近．這就是頻率的穩(wěn)定性．我們把隨機事件A的頻率P(A)作為隨機事件A的概率P(A)的近似值。

點評：利用概率的統(tǒng)計定義，在計算每一個隨機事件概率時都要通過大量重復(fù)的試驗，列出一個表格，從表格中找到某事件出現(xiàn)頻率的近似值作為所求概率。這從某種意義上說是很繁瑣的。

題型3：隨機事件間的關(guān)系

例5．(1)某戰(zhàn)士在打靶中，連續(xù)射擊兩次，事件“至少有一次中靶”的對立事件是(　 )

　　　 (A)至多有一次中靶　　　　　　　　　　　　　　 (B)兩次都中靶

　　　 (C)兩次都不中靶　　　　　　　　　　　　　　　　 (D)只有一次中靶

答案：C。

點評：根據(jù)實際問題分析好對立事件與互斥事件間的關(guān)系。

(2)把標號為1，2，3，4的四個小球隨機地分發(fā)給甲、乙、丙、丁四個人，每人分得一個。事件“甲分得1號球”與事件“乙分得1號球”是(　 )

　　　 (A)互斥但非對立事件　　　　　　　　　　　　　 (B)對立事件

(C)相互獨立事件　　　　　　 　　　　　 (D)以上都不對

答案：A。

點評：一定要區(qū)分開對立和互斥的定義，互斥事件：不能同時發(fā)生的兩個事件叫做互斥事件；對立事件：不能同時發(fā)生，但必有一個發(fā)生的兩個事件叫做互斥事件。

例6．(2006天津文，18)甲、乙兩臺機床相互沒有影響地生產(chǎn)某種產(chǎn)品，甲機床產(chǎn)品的正品率是乙機床產(chǎn)品的正品率是。

　　　 (I)從甲機床生產(chǎn)的產(chǎn)品中任取3件，求其中恰有2件正品的概率(用數(shù)字作答)；

(II)從甲、乙兩臺機床生產(chǎn)的產(chǎn)品中各任取1件，求其中至少有1件正品的概率(用數(shù)字作答)。

(I)解：任取甲機床的3件產(chǎn)品恰有2件正品的概率為

　　　 (II)解法一：記“任取甲機床的1件產(chǎn)品是正品”為事件A，“任取乙機床的1件產(chǎn)品是正品”為事件B。則任取甲、乙兩臺機床的產(chǎn)品各1件，其中至少有1件正品的概率為：

　　　 解法二：運用對立事件的概率公式，所求的概率為：

點評：本小題考查互斥事件、相互獨立事件的概率等基礎(chǔ)知識，及分析和解決實際問題的能力。

題型4：古典概率模型的計算問題

例7．從含有兩件正品a₁，a₂和一件次品b₁的三件產(chǎn)品中，每次任取一件，每次取出后不放回，連續(xù)取兩次，求取出的兩件產(chǎn)品中恰有一件次品的概率。

解析：每次取出一個，取后不放回地連續(xù)取兩次，其一切可能的結(jié)果組成的基本事件有6個，即(a₁，a₂)和，(a₁，b₂)，(a₂，a₁)，(a₂，b₁)，(b₁，a₁)，(b₂，a₂)。其中小括號內(nèi)左邊的字母表示第1次取出的產(chǎn)品，右邊的字母表示第2次取出的產(chǎn)用A表示“取出的兩種中，恰好有一件次品”這一事件，

則A=[(a₁，b₁)，(a₂，b₁)，(b₁，a₁)，(b₁，a₂)]，

事件A由4個基本事件組成，因而，P(A)==。

點評：利用古典概型的計算公式時應(yīng)注意兩點：(1)所有的基本事件必須是互斥的；(2)m為事件A所包含的基本事件數(shù)，求m值時，要做到不重不漏。

例8．現(xiàn)有一批產(chǎn)品共有10件，其中8件為正品，2件為次品：

(1)如果從中取出一件，然后放回，再取一件，求連續(xù)3次取出的都是正品的概率；

(2)如果從中一次取3件，求3件都是正品的概率。

分析：(1)為返回抽樣；(2)為不返回抽樣。

解析：(1)有放回地抽取3次，按抽取順序(x,y,z)記錄結(jié)果，則x,y,z都有10種可能，所以試驗結(jié)果有10×10×10=10³種；設(shè)事件A為“連續(xù)3次都取正品”，則包含的基本事件共有8×8×8=8³種，因此，P(A)= =0.512。

(2)解法1：可以看作不放回抽樣3次，順序不同，基本事件不同，按抽取順序記錄(x,y,z)，則x有10種可能，y有9種可能，z有8種可能，所以試驗的所有結(jié)果為10×9×8=720種．設(shè)事件B為“3件都是正品”，則事件B包含的基本事件總數(shù)為8×7×6=336, 所以P(B)= ≈0.467。

解法2：可以看作不放回3次無順序抽樣，先按抽取順序(x,y,z)記錄結(jié)果，則x有10種可能，y有9種可能，z有8種可能，但(x,y,z)，(x,z,y)，(y,x,z)，(y,z,x)，(z,x,y)，(z,y,x)，是相同的，所以試驗的所有結(jié)果有10×9×8÷6=120，按同樣的方法，事件B包含的基本事件個數(shù)為8×7×6÷6=56，因此P(B)= ≈0.467。

點評：關(guān)于不放回抽樣，計算基本事件個數(shù)時，既可以看作是有順序的，也可以看作是無順序的，其結(jié)果是一樣的，但不論選擇哪一種方式，觀察的角度必須一致，否則會導(dǎo)致錯誤。

題型5：利用排列組合知識解古典概型問題

例9．(2006山東文，19)盒中裝著標有數(shù)字1，2，3，4的卡片各2張，從盒中任意任取3張，每張卡片被抽出的可能性都相等，求：

(Ⅰ)抽出的3張卡片上最大的數(shù)字是4的概率；

(Ⅱ)抽出的3張中有2張卡片上的數(shù)字是3的概念；

(Ⅲ)抽出的3張卡片上的數(shù)字互不相同的概率。

解析：(I)“抽出的3張卡片上最大的數(shù)字是4”的事件記為A，

由題意得：；

(II)“抽出的3張中有2張卡片上的數(shù)字是3”的事件記為B，

則；

(III)“抽出的3張卡片上的數(shù)字互不相同”的事件記為C，“抽出的3張卡片上有兩個數(shù)字相同”的事件記為D，由題意，C與D是對立事件，

因為，

所以.

點評：該題通過排列、組合知識完成了古典概型的計算問題，同時要做到所有的基本事件必須是互斥的，要做到不重不漏。

例10．(2006安徽文，19)在添加劑的搭配使用中，為了找到最佳的搭配方案，需要對各種不同的搭配方式作比較。在試制某種牙膏新品種時，需要選用兩種不同的添加劑。現(xiàn)有芳香度分別為0，1，2，3，4，5的六種添加劑可供選用。根據(jù)試驗設(shè)計原理，通常首先要隨機選取兩種不同的添加劑進行搭配試驗。

(Ⅰ)求所選用的兩種不同的添加劑的芳香度之和等于4的概率；

(Ⅱ)求所選用的兩種不同的添加劑的芳香度之和不小于3的概率；

解析：設(shè)“所選用的兩種不同的添加劑的芳香度之和等于4”的事件為A，“所選用的兩種不同的添加劑的芳香度之和不小于3”的事件為B

(Ⅰ)芳香度之和等于4的取法有2種：、，故。

(Ⅱ)芳香度之和等于1的取法有1種：；芳香度之和等于2的取法有1種：，故。

點評：高考對概率內(nèi)容的考查，往往以實際應(yīng)用題出現(xiàn)。這既是這類問題的特點，也符合高考發(fā)展方向，考生要以課本概念和方法為主，以熟練技能，鞏固概念為目標，查找知識缺漏，總結(jié)解題規(guī)律。

題型6：易錯題辨析

例11．擲兩枚骰子，求所得的點數(shù)之和為6的概率。

錯解：擲兩枚骰子出現(xiàn)的點數(shù)之和不同情況為{2，3，4，…，12}，故共有11種基本事件，所以概率為P=；

剖析：以上11種基本事件不是等可能的，如點數(shù)和2只有(1，1)，而點數(shù)之和為6有(1，5)、(2，4)、(3，3)、(4，2)、(5，1)共5種．事實上，擲兩枚骰子共有36種基本事件，且是等可能的，所以“所得點數(shù)之和為6”的概率為P=。

我們經(jīng)常見的錯里還有“投擲兩枚硬幣的結(jié)果”，劃分基本事件“兩正、一正一反、兩反”，其中“一正一反”與“兩正”、“兩反”的機會是不均等。

類型四：基本事件 “不可數(shù)”

由概率求值公式，求某一事件發(fā)生的概率時，要求試驗中所有可能出現(xiàn)的基本事件只有有限個。

如果試驗所包含的基本事件是無限多個，那根本就不會得到基本事件的總數(shù)，也就不能用公式來解決問題。

例12．(2000年天津、山西、江西高考試題)

甲、乙二人參加普法知識競賽，共有10個不同的題目，其中選擇題6個，判斷題4個，甲、乙二人一次各抽取一題，

(1)甲抽到選擇題，乙抽到判斷題的概率是多少？

錯解：甲從選擇題中抽到一題的可能結(jié)果有個，乙從判斷題中抽到一題的的可能結(jié)果是，故甲抽到選擇題，乙抽到判斷題的可能結(jié)果為；又甲、乙二人一次各抽取一題的結(jié)果有，所以概率值為。

剖析：錯把分步原理當作分類原理來處理。

正解：甲從選擇題中抽到一題的可能結(jié)果有個，乙從判斷題中抽到一題的的可能結(jié)果是，故甲抽到選擇題，乙抽到判斷題的可能結(jié)果為；又甲、乙二人一次各抽取一題的結(jié)果有，所以概率值為。

(2)甲、乙二人至少有一個抽到選擇題的概率是多少？

錯解：甲、乙中甲抽到判斷題的種數(shù)是6×9種，乙抽到判斷題的種數(shù)6×9種，故甲、乙二人至少有一個抽到選擇題的種數(shù)為12×9；又甲、乙二人一次各抽取一題的種數(shù)是10×9，故甲、乙二人至少有一個抽到選擇題的概率是。

剖析：顯然概率值不會大于1，這是錯解。該問題對甲、乙二人至少有一個抽到選擇題的計數(shù)是重復(fù)的，兩人都抽取到選擇題這種情況被重復(fù)計數(shù)。

正解：甲、乙二人一次各抽取一題基本事件的總數(shù)是10×9=90；

方法一：分類計數(shù)原理

(1)只有甲抽到了選擇題的事件數(shù)是：6×4=24；

(2)只有乙抽到了選擇題的事件數(shù)是：6×4=24；

(3)甲、乙同時抽到選擇題的事件數(shù)是：6×5=30；

故甲、乙二人至少有一個抽到選擇題的概率是。

方法二：利用對立事件

事件“甲、乙二人至少有一個抽到選擇題”與事件“甲、乙兩人都未抽到選擇題”是對立事件。

事件“甲、乙兩人都未抽到選擇題”的基本事件個數(shù)是4×3=12；

故甲、乙二人至少有一個抽到選擇題的概率是。

5．古典概型

(1)古典概型的兩大特點：1)試驗中所有可能出現(xiàn)的基本事件只有有限個；2)每個基本事件出現(xiàn)的可能性相等；

(2)古典概型的概率計算公式：P(A)=；

一次試驗連同其中可能出現(xiàn)的每一個結(jié)果稱為一個基本事件,通常此試驗中的某一事件A由幾個基本事件組成.如果一次試驗中可能出現(xiàn)的結(jié)果有n個,即此試驗由n個基本事件組成,而且所有結(jié)果出現(xiàn)的可能性都相等,那么每一基本事件的概率都是。如果某個事件A包含的結(jié)果有m個,那么事件A的概率P(A)=。

4．事件間的運算

(1)并事件(和事件)

若某事件的發(fā)生是事件A發(fā)生或事件B發(fā)生，則此事件稱為事件A與事件B的并事件。

注：當A和B互斥時，事件A+B的概率滿足加法公式：

P(A+B)=P(A)+P(B)(A、B互斥)；且有P(A+)=P(A)+P()=1。

(2)交事件(積事件)

若某事件的發(fā)生是事件A發(fā)生和事件B同時發(fā)生，則此事件稱為事件A與事件B的交事件。

3．事件間的關(guān)系

(1)互斥事件：不能同時發(fā)生的兩個事件叫做互斥事件；

(2)對立事件：不能同時發(fā)生，但必有一個發(fā)生的兩個事件叫做互斥事件；

(3)包含：事件A發(fā)生時事件B一定發(fā)生，稱事件A包含于事件B(或事件B包含事件A)；

2．隨機事件的概率

事件A的概率：在大量重復(fù)進行同一試驗時,事件A發(fā)生的頻率總接近于某個常數(shù)，在它附近擺動，這時就把這個常數(shù)叫做事件A的概率,記作P(A)。

由定義可知0≤P(A)≤1，顯然必然事件的概率是1，不可能事件的概率是0。

1．隨機事件的概念

在一定的條件下所出現(xiàn)的某種結(jié)果叫做事件。

(1)隨機事件：在一定條件下可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件；

(2)必然事件：在一定條件下必然要發(fā)生的事件；

(3)不可能事件：在一定條件下不可能發(fā)生的事件。