3.排列與組合的聯(lián)系

同步練習(xí)　 　　　　10.2 組合

[選擇題]

2.帶限制條件的組合問題.

1.組合的概念，組合數(shù)的公式和性質(zhì)：

[例1]求值:(1);　　 (2)

解(1)由組合定義知:

.

(2)

　 　◆ 特別提示：排列組合中對(duì)n，m的限制。

[例2]用正五棱柱的10個(gè)頂點(diǎn)中的5個(gè)做四棱錐的5個(gè)頂點(diǎn)，共可得到多少個(gè)四棱錐？

解：解法1 直接法：共面而不共線的四點(diǎn)可成為四棱錐的底面，再在平面外找一點(diǎn)為頂點(diǎn)就形成了四棱錐，于是可從四棱錐的底面四點(diǎn)著眼，將構(gòu)成棱錐的5個(gè)頂點(diǎn)的取法分類。

按照構(gòu)成四棱錐的底面四點(diǎn)分為以下四類；

(1)四點(diǎn)取在棱柱的底面上有2CC=50個(gè)；

(2)四點(diǎn)取在棱柱的側(cè)面上有5C=30個(gè)；

(3)四點(diǎn)取在棱柱的對(duì)角面上有5C=30個(gè)；

(4)四點(diǎn)取在以過一個(gè)底面中的一條對(duì)角線和另一個(gè)底面中與其平行的一邊所確定的面上有2×5C=60個(gè)。

所以共可組成50+30+30+60=170個(gè)四棱錐。

解法2 間接法. C中去掉五點(diǎn)共面和無四點(diǎn)共面的兩種情況，算式為C-2C-4×4C=170(個(gè))。

[例3]球臺(tái)上有4個(gè)黃球，6個(gè)紅球，擊黃球入袋記2分，擊紅球入袋記1分，欲將此十球中的4球擊入袋中，但總分不低于5分，擊球方法有幾種？

解：設(shè)擊入黃球x個(gè)，紅球y個(gè)符合要求，

則有　 x+y=4，

2x+y≥5(x、y∈N)，得1≤x≤4.

∴

相應(yīng)每組解(x，y)，擊球方法數(shù)分別為CC，CC，CC，CC.

共有不同擊球方法數(shù)為CC+CC+CC+CC=195.

[例4]有11名外語翻譯人員，其中5名英語翻譯員，4名日語翻譯員，另兩名英、日語都精通，從中找出8人，使他們組成兩個(gè)翻譯小組，其中4人翻譯英文，另4人翻譯日文，這兩個(gè)小組能同時(shí)工作，問這樣的分配名單共可開出幾張?

分析：既精通英語，又精通日語的“多面手”是特殊元素，所以可以從他們的參與情況入手進(jìn)行分類討論.

解：按“多面手”的參與情況分成三類.

第一類：多面手不參加，這時(shí)有CC種；

第二類：多面手中有一人入選，這時(shí)又有該人參加英文或日文翻譯兩種可能，因此有CCC+CCC種；

第三類：多面手中兩個(gè)均入選，這時(shí)又分三種情況：兩個(gè)都譯英文、兩個(gè)都譯日文、兩人各譯一個(gè)語種，因此有CCC+CCC+CCCC種.

綜上分析，共可開出CC+CCC+CCC+CCC+CCC+ CCCC=

185種.

法2.先安排翻譯英文人員，后安排翻譯日文人員進(jìn)行分類求解，共有

CC+CCC+CCC=185種.

[研討.欣賞]從1到100這100個(gè)正整數(shù)中，每次取出2個(gè)數(shù)使它們的和大于100，共有多少種取法?

解：(1)若取出的2個(gè)數(shù)都大于50，則有C種.

(2)若取出的2個(gè)數(shù)有一個(gè)小于或等于50，

當(dāng)取1時(shí)，另1個(gè)只能取100，有C種取法；

當(dāng)取2時(shí)，另1個(gè)只能取100或99，有C種取法；

……

當(dāng)取50時(shí)，另1個(gè)數(shù)只能取100，99，98，…，51中的一個(gè)，有C種取法，所以共有1+2+3+…+50=.

故取法種數(shù)為C+=+=2500.

8.最短路徑須走七步，只需確定哪三步向上，走法．類似得=種走法。

8. 從一個(gè)3×4的方格中的一個(gè)頂點(diǎn)A到對(duì)頂頂點(diǎn)B的

最短路線有________條;

如果某城市由n條東西方向的街道和m條南北方向的街

道組成一個(gè)矩形街道網(wǎng)，如圖，要從A處走到B處，使所走

的路程最短,則不同的走法有_________種

◆練習(xí)簡(jiǎn)答:1-3. BCD; 4.設(shè)素菜n種，則C·C≥200n(n－1)≥40，n的最小值為7;　 5.1260;　 6. C·C=20種;　 7.讓三只不亮的燈插空,C=20;

7.馬路上有編號(hào)為1，2，3，…，10的十只路燈，為節(jié)約用電又看清路面，可以把其中的三只燈關(guān)掉，但不能同時(shí)關(guān)掉相鄰的兩只或三只，在兩端的燈也不能關(guān)掉的情況下，則滿足條件的關(guān)燈方法有___________種.

6.(2005全國(guó)Ⅰ)設(shè)有編號(hào)為1，2，3，4，5的五個(gè)球和編號(hào)為1，2，3，4，5的五個(gè)盒子.現(xiàn)將這五個(gè)球投放入這五個(gè)盒子內(nèi)，要求每個(gè)盒子內(nèi)投放一球，并且恰好有兩個(gè)球的編號(hào)與盒子的編號(hào)相同，則這樣的投放方法有多少種?

5.(2006江蘇)今有2個(gè)紅球、3個(gè)黃球、4個(gè)白球，同色球不加以區(qū)分，將這9個(gè)球排成一列有　　 　種不同的方法(用數(shù)字作答)。

4.某餐廳供應(yīng)客飯，每位顧客可以在餐廳提供的菜肴中任選2菜2素共4種不同的品種.現(xiàn)在餐廳準(zhǔn)備了5種不同的葷菜，若要保證每位顧客有200種以上的不同選擇，則餐廳至少還需要不同的素菜品種_____________種.(結(jié)果用數(shù)值表示)