5．如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體中，是側(cè)棱上的一點(diǎn)，。

(1)試確定，使直線與平面所成角的正切值為；

(2)在線段上是否存在一個(gè)定點(diǎn)，使得對(duì)任意的，在平面上的射影垂直于，并證明你的結(jié)論。

解：(1)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A(1,0,0),B(1,1,0),P(0,1,m)，C(0,1,0),D(0,0,0),B₁(1,1,1),D₁(0,0,1)．

所以

又由的一個(gè)法向量．

設(shè)與所成的角為，

則

依題意有：，解得．

故當(dāng)時(shí)，直線。

(2)若在上存在這樣的點(diǎn)，設(shè)此點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，

則。

依題意，對(duì)任意的m要使D1Q在平面APD1上的射影垂直于AP。

等價(jià)于

即為的中點(diǎn)時(shí)，滿足題設(shè)的要求．

4．如圖，在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分別是BB₁、CD的中點(diǎn)．

(1)證明AD⊥D₁F；

(2)求AE與D₁F所成的角；

(3)證明面AED⊥面A₁D₁F．

解：取D為原點(diǎn)，DA、DC、DD₁為x軸、y軸、z軸建立直角坐標(biāo)系，取正方體棱長(zhǎng)為2，則A(2，0，0)、A₁(2，0，2)、

D₁(0，0，2)、E(2，2，1)、F(0，1，0)．

(1)∵· =(2，0，0)·(0，1,－2)=0，∴AD⊥D₁F．

(2)∵·=(0，2，1)·(0，1，－2)=0，∴AE⊥D₁F，即AE與D₁F成90°角．

(3)∵·=(2，2，1)·(0，1，－2)=0，∴DE⊥D₁F．∵AE⊥D₁F，

∴D₁F⊥面AED．∵D₁F面A₁D₁F，∴面AED⊥面A₁D₁F．

3．如圖，直棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面△ABC中，CA=CB=1，∠BCA=90°，棱AA₁=2，M、N分別是A₁B₁、A₁A的中點(diǎn)．

(1)求的長(zhǎng)；　

(2)求cos〈，〉的值；

(3)求證：A₁B⊥C₁M．

(1)解：依題意得B(0，1，0)，N(1，0，1)，

∴｜｜==．

(2)解：A₁(1，0，2)，B(0，1，0)，C(0，0，0)，B₁(0，1，2)，

∴=(1，－1，2)，=(0，1，2)，·=3，｜｜=，｜｜=．

∴cos〈，〉==．

(3)證明：C₁(0，0，2)，M(，，2)，=(－1，1，－2)，=(，，0)，∴·=0，∴A₁B⊥C₁M．

2．在正三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，各棱長(zhǎng)都為a，D是BC中點(diǎn),則向量和的夾角為_____,異面直線A₁D和AB₁的夾角為______。

解： cos <，> = -∴<,>=π－arccos

異面直線和的夾角為φ，則φ= arccos

1．在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M、N分別為A₁B₁和BB₁的中點(diǎn)，那么直線AM與CN所成的角為　　　　　 (　 D　 )

A．a(chǎn)rccos　　　 　　 B．a(chǎn)rccos

C．a(chǎn)rccos 　　　 　　　　　　　 D．a(chǎn)rccos

解：建立如圖所示坐標(biāo)系，把D點(diǎn)視作原點(diǎn)O，分別沿、、方向?yàn)?i>x軸、y軸、z軸的正方向，則α=arccos．

8．△ABC為邊長(zhǎng)等于a的正三角形，AE和CD都垂直于平面ABC，且AE=AB=2CD，F是BE的中點(diǎn)。

(1)求證：DF//平面ABC；

(2)求證：AF⊥BD。

證：(1)=(+)=(++++)

=(2+++)=(+++)

=(+)=�！� DFCM，從而DF//平面ABC。

(2)=(+)，=－。

·=(+)·(－)=(－·+·)

=(－·+·)=(－|| ||cos60°+|| ||)

=(－a²+a²)=0。∴ AF⊥BD。

考查運(yùn)用空間向量的基本知識(shí)判斷空間的線線、線面位置關(guān)系．要求掌握用坐標(biāo)法或基底法證明空間線面平行、垂直,掌握用空間向量解立體幾何問(wèn)題的一般程序:把已知條件用向量表示，把一些待求的量用基向量或其他向量表示，將幾何的位置關(guān)系的證明問(wèn)題或數(shù)量關(guān)系的運(yùn)算問(wèn)題轉(zhuǎn)化為典型的向量運(yùn)算，以算代證，以值定形．

7．若OA，OB，OC兩兩互相垂直，求證△ABC為銳角三角形。

證明：OA，OB，OC兩兩互相垂直。

因·=(－)·(－)=·=||²＞0，

∴ <·>為銳角，即∠BAC為銳角，

同理∠ABC，∠BCA均為銳角，∴△ABC為銳角三角形。

6．如圖，已知矩形和矩形垂直，以為公共邊，但它們不在同一平面上．點(diǎn)M、N分別在對(duì)角線BD、AE上，且｜BM｜＝｜BD｜，｜AN｜＝｜AE｜．證明：MN∥平面CDE．

解：如圖，＝++．

由已知，＝，又因?yàn)?sub>＝+，

所以　 ＝+．

由已知，＝，又因?yàn)?sub>＝+，

所以　 ＝+．所以　 ＝++++，

又　 ＝－，＝－，所以　 ＝－，即有MN∥平面CDE．

5．已知空間三點(diǎn)A(0，2，3)，B(-2，1，6)，C(1，-1，5)：

(1)求以向量、為一組鄰邊的平行四邊形的面積S；

(2)若向量分別與向量、垂直，且||=，求向量a的坐標(biāo)。

(1)=(-2，-1，3)，=(1，-3，2)，

則cos∠BAC==，∴∠BAC=，∴ S=||·||·sin=7

(2)設(shè) =(x，y，z)，則⊥ 　-2x－y+3z= 0　　　　　　　　 ①

⊥ 　x－3y+2z= 0　　 ②　　 ||= 　x²+y²+z²=3　　　　　 ③

由式①、②、③解得，x=y=z=1 或 x=y=z=-1．

∴ =(1，1，1)或=(-1，-1，-1)

4．已知=(2，2，1)，=(4，5，3)，求平面ABC的單位法向量．

解：?jiǎn)挝环ㄏ蛄?i>n ₀=±=±(，－，)．