12. 函數(shù)的對稱性。

①滿足條件的函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱。如已知二次函數(shù)滿足條件且方程有等根，則＝_____(答：)；

②點關(guān)于軸的對稱點為；函數(shù)關(guān)于軸的對稱曲線方程為；

③點關(guān)于軸的對稱點為；函數(shù)關(guān)于軸的對稱曲線方程為；

④點關(guān)于原點的對稱點為；函數(shù)關(guān)于原點的對稱曲線方程為；

⑤點關(guān)于直線的對稱點為；曲線關(guān)于直線的對稱曲線的方程為。特別地，點關(guān)于直線的對稱點為；曲線關(guān)于直線的對稱曲線的方程為

；點關(guān)于直線的對稱點為；曲線關(guān)于直線的對稱曲線的方程為。如己知函數(shù),若的圖像是,它關(guān)于直線對稱圖像是關(guān)于原點對稱的圖像為對應(yīng)的函數(shù)解析式是___________(答：)；

⑥曲線關(guān)于點的對稱曲線的方程為。如若函數(shù)與的圖象關(guān)于點(-2，3)對稱，則＝______(答：)

⑦形如的圖像是雙曲線，其兩漸近線分別直線

(由分母為零確定)和直線(由分子、分母中的系數(shù)確定)，對稱中心是點。如已知函數(shù)圖象與關(guān)于直線對稱，且圖象關(guān)于點(2，－3)對稱，則a的值為______(答：2)

⑧的圖象先保留原來在軸上方的圖象，作出軸下方的圖象關(guān)于軸的對稱圖形，然后擦去軸下方的圖象得到；的圖象先保留在軸右方的圖象，擦去軸左方的圖象，然后作出軸右方的圖象關(guān)于軸的對稱圖形得到。如(1)作出函數(shù)及的圖象；(2)若函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，則函數(shù)的圖象關(guān)于____對稱 (答：軸)　

提醒：(1)從結(jié)論②③④⑤⑥可看出，求對稱曲線方程的問題，實質(zhì)上是利用代入法轉(zhuǎn)化為求點的對稱問題；(2)證明函數(shù)圖像的對稱性，即證明圖像上任一點關(guān)于對稱中心(對稱軸)的對稱點仍在圖像上；(3)證明圖像與的對稱性，需證兩方面：①證明上任意點關(guān)于對稱中心(對稱軸)的對稱點仍在上；②證明上任意點關(guān)于對稱中心(對稱軸)的對稱點仍在上。如(1)已知函數(shù)。求證：函數(shù)的圖像關(guān)于點成中心對稱圖形；(2)設(shè)曲線C的方程是,將C沿軸, 軸正方向分別平行移動單位長度后得曲線。①寫出曲線的方程(答：)；②證明曲線C與關(guān)于點對稱。

11. 常見的圖象變換

①函數(shù)的圖象是把函數(shù)的圖象沿軸向左平移個單位得到的。如設(shè)的圖像與的圖像關(guān)于直線對稱，的圖像由的圖像向右平移1個單位得到，則為__________(答： )

②函數(shù)(的圖象是把函數(shù)的圖象沿軸向右平移個單位得到的。如(1)若，則函數(shù)的最小值為____(答：2)；(2)要得到的圖像，只需作關(guān)于_____軸對稱的圖像，再向____平移3個單位而得到(答：；右)；(3)函數(shù)的圖象與軸的交點個數(shù)有____個(答：2)

③函數(shù)+的圖象是把函數(shù)助圖象沿軸向上平移個單位得到的；

④函數(shù)+的圖象是把函數(shù)助圖象沿軸向下平移個單位得到的；如將函數(shù)的圖象向右平移2個單位后又向下平移2個單位,所得圖象如果與原圖象關(guān)于直線對稱,那么 　　　　　　　　　　(答：C)

⑤函數(shù)的圖象是把函數(shù)的圖象沿軸伸縮為原來的得到的。如(1)將函數(shù)的圖像上所有點的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?sub>(縱坐標(biāo)不變)，再將此圖像沿軸方向向左平移2個單位，所得圖像對應(yīng)的函數(shù)為_____(答：)；(2)如若函數(shù)是偶函數(shù)，則函數(shù)的對稱軸方程是_______(答：)．

⑥函數(shù)的圖象是把函數(shù)的圖象沿軸伸縮為原來的倍得到的.

10.函數(shù)的單調(diào)性。

(1)確定函數(shù)的單調(diào)性或單調(diào)區(qū)間的常用方法：

①在解答題中常用：定義法(取值--作差--變形--定號)、導(dǎo)數(shù)法(在區(qū)間內(nèi)，若總有，則為增函數(shù)；反之，若在區(qū)間內(nèi)為增函數(shù)，則，請注意兩者的區(qū)別所在。如已知函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，則的取值范圍是____(答：))；

②在選擇填空題中還可用數(shù)形結(jié)合法、特殊值法等等，特別要注意

型函數(shù)的圖象和單調(diào)性在解題中的運用：增區(qū)間為，減區(qū)間為.如(1)若函數(shù) 在區(qū)間(－∞，4] 上是減函數(shù)，那么實數(shù)的取值范圍是______(答：))；(2)已知函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍_____(答：)；(3)若函數(shù)的值域為R，則實數(shù)的取值范圍是______(答：且))；

③復(fù)合函數(shù)法：復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的特點是同增異減，如函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是________(答：(1,2))。

(2)特別提醒：求單調(diào)區(qū)間時，一是勿忘定義域，如若函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù)，求的取值范圍(答：)；二是在多個單調(diào)區(qū)間之間不一定能添加符號“”和“或”；三是單調(diào)區(qū)間應(yīng)該用區(qū)間表示，不能用集合或不等式表示．

(3)你注意到函數(shù)單調(diào)性與奇偶性的逆用了嗎?(①比較大��；②解不等式；③求參數(shù)范圍).如已知奇函數(shù)是定義在上的減函數(shù),若，求實數(shù)的取值范圍。(答：)

9.函數(shù)的奇偶性。

(1)具有奇偶性的函數(shù)的定義域的特征：定義域必須關(guān)于原點對稱！為此確定函數(shù)的奇偶性時，務(wù)必先判定函數(shù)定義域是否關(guān)于原點對稱。如若函數(shù)，

為奇函數(shù)，其中，則的值是　 (答：0)；

(2)確定函數(shù)奇偶性的常用方法(若所給函數(shù)的解析式較為復(fù)雜，應(yīng)先化簡，再判斷其奇偶性)：

①定義法：如判斷函數(shù)的奇偶性____(答：奇函數(shù))。

②利用函數(shù)奇偶性定義的等價形式：或()。如判斷的奇偶性___.(答：偶函數(shù))

③圖像法：奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱；偶函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱。

(3)函數(shù)奇偶性的性質(zhì)：

①奇函數(shù)在關(guān)于原點對稱的區(qū)間上若有單調(diào)性，則其單調(diào)性完全相同；偶函數(shù)在關(guān)于原點對稱的區(qū)間上若有單調(diào)性，則其單調(diào)性恰恰相反.

②如果奇函數(shù)有反函數(shù)，那么其反函數(shù)一定還是奇函數(shù).

③若為偶函數(shù)，則.如若定義在R上的偶函數(shù)在上是減函數(shù)，且=2，則不等式的解集為______.(答：)

④若奇函數(shù)定義域中含有0，則必有.故是為奇函數(shù)的既不充分也不必要條件。如若為奇函數(shù)，則實數(shù)＝____(答：1).

⑤定義在關(guān)于原點對稱區(qū)間上的任意一個函數(shù)，都可表示成“一個奇函數(shù)與一個偶函數(shù)的和(或差)”。如設(shè)是定義域為R的任一函數(shù)， ，。①判斷與的奇偶性； ②若將函數(shù)，表示成一個奇函數(shù)和一個偶函數(shù)之和，則＝____(答：①為偶函數(shù)，為奇函數(shù)；②＝)

⑥復(fù)合函數(shù)的奇偶性特點是：“內(nèi)偶則偶，內(nèi)奇同外”.

⑦既奇又偶函數(shù)有無窮多個(，定義域是關(guān)于原點對稱的任意一個數(shù)集).

8. 反函數(shù)：

(1)存在反函數(shù)的條件是對于原來函數(shù)值域中的任一個值，都有唯一的值與之對應(yīng)，故單調(diào)函數(shù)一定存在反函數(shù)，但反之不成立；偶函數(shù)只有有反函數(shù)；周期函數(shù)一定不存在反函數(shù)。如函數(shù)在區(qū)間[1, 2]上存在反函數(shù)的充要條件是A、　B、　C、　D、　(答：D)

(2)求反函數(shù)的步驟：①反求；②互換 、；③注明反函數(shù)的定義域(原來函數(shù)的值域)。注意函數(shù)的反函數(shù)不是，而是。如設(shè).求的反函數(shù)(答：)．

(3)反函數(shù)的性質(zhì)：

①反函數(shù)的定義域是原來函數(shù)的值域，反函數(shù)的值域是原來函數(shù)的定義域。如單調(diào)遞增函數(shù)滿足條件= x ，其中≠ 0 ，若的反函數(shù)的定義域為 ，則的定義域是____________(答：[4,7]).

②函數(shù)的圖象與其反函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，注意函數(shù)的圖象與的圖象相同。如(1)已知函數(shù)的圖象過點(1,1),那么的反函數(shù)的圖象一定經(jīng)過點_____(答：(1,3))；(2)已知函數(shù)，若函數(shù)與的圖象關(guān)于直線對稱，求的值(答：)；

③。如(1)已知函數(shù)，則方程的解______(答：1)；(2)設(shè)函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(1,2)對稱，且存在反函數(shù)，f (4)＝0，則＝　　 (答：－2)

④互為反函數(shù)的兩個函數(shù)具有相同的單調(diào)性和奇函數(shù)性。如已知是上的增函數(shù)，點在它的圖象上，是它的反函數(shù)，那么不等式的解集為________(答：(2,8))；

⑤設(shè)的定義域為A，值域為B，則有，

，但。

7.求函數(shù)解析式的常用方法：

(1)待定系數(shù)法--已知所求函數(shù)的類型(二次函數(shù)的表達形式有三種：一般式：；頂點式：；零點式：，要會根據(jù)已知條件的特點，靈活地選用二次函數(shù)的表達形式)。如已知為二次函數(shù)，且 ，且f(0)=1,圖象在x軸上截得的線段長為2,求的解析式 。(答：)

(2)代換(配湊)法--已知形如的表達式，求的表達式。如(1)已知求的解析式(答：)；(2)若，則函數(shù)=_____(答：)；(3)若函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)時，，那么當(dāng)時，=________(答：). 這里需值得注意的是所求解析式的定義域的等價性，即的定義域應(yīng)是的值域。

(3)方程的思想--已知條件是含有及另外一個函數(shù)的等式，可抓住等式的特征對等式的進行賦值，從而得到關(guān)于及另外一個函數(shù)的方程組。如(1)已知，求的解析式(答：)；(2)已知是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，且+= ,則=　　　 __(答：)。

6.分段函數(shù)的概念。分段函數(shù)是在其定義域的不同子集上，分別用幾個不同的式子來表示對應(yīng)關(guān)系的函數(shù)，它是一類較特殊的函數(shù)。在求分段函數(shù)的值時，一定首先要判斷屬于定義域的哪個子集，然后再代相應(yīng)的關(guān)系式；分段函數(shù)的值域應(yīng)是其定義域內(nèi)不同子集上各關(guān)系式的取值范圍的并集。如(1)設(shè)函數(shù)，則使得的自變量的取值范圍是__________(答：)；(2)已知，則不等式的解集是________(答：)

5.求函數(shù)值域(最值)的方法：

(1)配方法--二次函數(shù)(二次函數(shù)在給出區(qū)間上的最值有兩類：一是求閉區(qū)間上的最值；二是求區(qū)間定(動)，對稱軸動(定)的最值問題。求二次函數(shù)的最值問題，勿忘數(shù)形結(jié)合，注意“兩看”：一看開口方向；二看對稱軸與所給區(qū)間的相對位置關(guān)系)，如(1)求函數(shù)的值域(答：[4,8])；(2)當(dāng)時，函數(shù)在時取得最大值，則的取值范圍是___(答：)；(3)已知的圖象過點(2,1)，則的值域為______(答：[2, 5])

(2)換元法--通過換元把一個較復(fù)雜的函數(shù)變?yōu)楹唵我浊笾涤虻暮瘮?shù)，其函數(shù)特征是函數(shù)解析式含有根式或三角函數(shù)公式模型，如(1)的值域為_____(答：)；(2)的值域為_____(答：)(令，。運用換元法時，要特別要注意新元的范圍)；(3)的值域為____(答：)；(4)的值域為____(答：)；

(3)函數(shù)有界性法--直接求函數(shù)的值域困難時，可以利用已學(xué)過函數(shù)的有界性，來確定所求函數(shù)的值域，最常用的就是三角函數(shù)的有界性，如求函數(shù)，，的值域(答： 、(0,1)、)；

(4)單調(diào)性法--利用一次函數(shù)，反比例函數(shù)，指數(shù)函數(shù)，對數(shù)函數(shù)等函數(shù)的單調(diào)性，如求，，的值域為______(答：、、)；

(5)數(shù)形結(jié)合法--函數(shù)解析式具有明顯的某種幾何意義，如兩點的距離、直線斜率、等等，如(1)已知點在圓上，求及的取值范圍(答：、)；(2)求函數(shù)的值域(答：)；(3)求函數(shù)及的值域(答：、)注意：求兩點距離之和時，要將函數(shù)式變形，使兩定點在軸的兩側(cè)，而求兩點距離之差時，則要使兩定點在軸的同側(cè)。

(6)判別式法--對分式函數(shù)(分子或分母中有一個是二次)都可通用，但這類題型有時也可以用其它方法進行求解，不必拘泥在判別式法上，也可先通過部分分式后，再利用均值不等式：

①型，可直接用不等式性質(zhì)，如求的值域(答：)

②型，先化簡，再用均值不等式，如(1)求的值域(答：)；(2)求函數(shù)的值域(答：)

③型，通常用判別式法；如已知函數(shù)的定義域為R，值域為[0，2]，求常數(shù)的值(答：)

④型，可用判別式法或均值不等式法，如求的值域(答：)

(7)不等式法--利用基本不等式求函數(shù)的最值，其題型特征解析式是和式時要求積為定值，解析式是積時要求和為定值，不過有時須要用到拆項、添項和兩邊平方等技巧。如設(shè)成等差數(shù)列，成等比數(shù)列，則的取值范圍是____________.(答：)。

(8)導(dǎo)數(shù)法--一般適用于高次多項式函數(shù)，如求函數(shù)，的最小值。(答：－48)

提醒：(1)求函數(shù)的定義域、值域時，你按要求寫成集合形式了嗎？(2)函數(shù)的最值與值域之間有何關(guān)系？

4. 求函數(shù)定義域的常用方法(在研究函數(shù)問題時要樹立定義域優(yōu)先的原則)：

(1)根據(jù)解析式要求如偶次根式的被開方大于零，分母不能為零，對數(shù)中且，三角形中, 最大角，最小角等。如(1)函數(shù)的定義域是____(答：)；(2)若函數(shù)的定義域為R，則_______(答：)；(3)函數(shù)的定義域是，，則函數(shù)的定義域是__________(答：)；(4)設(shè)函數(shù)，①若的定義域是R，求實數(shù)的取值范圍；②若的值域是R，求實數(shù)的取值范圍(答：①；②)

(2)根據(jù)實際問題的要求確定自變量的范圍。

(3)復(fù)合函數(shù)的定義域：若已知的定義域為,其復(fù)合函數(shù)的定義域由不等式解出即可；若已知的定義域為,求的定義域，相當(dāng)于當(dāng)時，求的值域(即的定義域)。如(1)若函數(shù)的定義域為，則的定義域為__________(答：)；(2)若函數(shù)的定義域為，則函數(shù)的定義域為________(答：[1,5])．

3. 同一函數(shù)的概念。構(gòu)成函數(shù)的三要素是定義域，值域和對應(yīng)法則。而值域可由定義域和對應(yīng)法則唯一確定，因此當(dāng)兩個函數(shù)的定義域和對應(yīng)法則相同時，它們一定為同一函數(shù)。如若一系列函數(shù)的解析式相同，值域相同，但其定義域不同，則稱這些函數(shù)為“天一函數(shù)”，那么解析式為，值域為{4，1}的“天一函數(shù)”共有______個(答：9)