393. 正四棱錐的一個對角面與一個側(cè)面的面積之比為,求側(cè)面與底面所成的角的大小。
解析:如圖,正四棱錐P-ABCD的一個對角面△PAC。設(shè)棱錐的底面邊長為a,高為h,斜高為h′,底面中心為O,連PO,則PO⊥底面ABCD,∴PO⊥AC,在△PAC中,AC=,PO=h,
∴
在△PBC中,°
∴
∴h:h′=.
取BC中點E,連OE,PE,可證∠PEO即為側(cè)面與底面所成兩面角的平面角。
在Rt△POE中,sin∠PEO=,
∴∠PEO=,即側(cè)面與底面所成的角為.
392. 如圖,BCD是等腰直角三角形,斜邊CD的長等于點P到BC的距離,D是P在平面BCD上的射影.(1)求PB與平面BCD所成角;(2)求BP與平面PCD所成的角
解析:(1)PD⊥平面BCD,∴BD是PB在平面BCD內(nèi)的射影,∴∠PBD為PB與平面BCD所成角,BD⊥BC,由三垂線定理得BC⊥BD,∴BP=CD,設(shè)BC=a,則BD=a,BP=CD=a∴在Rt△BPD中,
cos∠DBP= ∴∠DBP=45°, 即PB與平面BCD所成角為45°.
(2)過B作BE⊥CD于E,連結(jié)PE,PD⊥平面BCD得PD⊥BE,∴BE⊥平面PCD,
∴∠BPE為BP與平面PCD所成的角,在Rt△BEP中,BE=a, BP=a,∴∠BPE=30° 即BP與平面PCD所成角為30°.
391. 如圖,△ABC為銳角三角形,PA⊥平面ABC,A點在平面PBC上的射影為H,求:H不可能是△PBC的垂心.
解析:連結(jié)CH,則CH是AC在平面PBC內(nèi)的射影,若H為垂心,則CH⊥PB,由三垂線定理得AC⊥PB,又PA⊥平面ABC,∴PA⊥AC,∴AC⊥平面PAB,從而AC⊥AB與△ABC為銳角三
角形矛盾,故H不可能是垂心.
390. 已知α∩β=C,a∥b,aα,bβ,Aa,AE⊥b于E,AF⊥c于F,求證:a⊥EF
解析:b∥a,b,aα, ∴b∥α
又bβ,α∩β=c ∴b∥c, 又AF⊥c ∴AF⊥b
又AE⊥b, AE∩AF=A ∴b⊥平面AEF a∥b ∴a⊥平面AEF
EF平面AEF ∴a⊥EF
389. 設(shè)P點在正三角形ABC所在平面外,且AP,BP,CP兩兩垂直;又是的重心;為上一點,;為上一點,;,如圖
(1)求證:GF⊥平面PBC;(2)求證:EF⊥BC。
解析:(1)連結(jié)BG并延長交PA于M.G為△ABP的重心
注 要充分注意平面幾何中的知識(如本題中三角形重心性質(zhì),等腰三角形性質(zhì)等)在證題中的運用。
388. 如圖,在四棱錐P-ABCD中,側(cè)面PCD是邊長等于2cm的等邊三角形,底面ABCD是面積為2cm2的菱形,∠ADC是銳角.
求證:PA⊥CD
證明:設(shè)∠ADC=θ,則:由SABCD=2, CD=BC=AB=AD=2,易得θ=60°
∴△ACD是等邊三角形,取CD中點E連AE、PE,則AE⊥CD,PE⊥CD
AE⊥CD,PE⊥CD ∴CD⊥平面PAE ∴CD⊥PA
387. 如圖,已知PA⊥矩形ABCD所在平面,M,N分別是AB,PC的中點.
(1) 求證:MN⊥CD;
(2) 若∠PDA=45°,求證:MN⊥平面PCD.
證明 (1)連AC∩BD=O,連NO,MO,則NO∥PA.
∵PA⊥平面ABCD,∴NO⊥平面ABCD.
∵M(jìn)O⊥AB,∴MN⊥AB,而CD∥AB,∴MN⊥CD;
(2)∵∠PDA=45°,∴PA=AD,
由△PAM≌△CBM得PM=CM,
∵N為PC中點,∴MN⊥PC.
又MN⊥CD,PC∩CD=C,∴MN⊥平面PCD.
386. P是邊長為a的六邊形ABCDEF所成平面外一點,PA⊥AB,PA⊥AF,PA=a,則點P到邊CD的距離是
解析:2a.
PA⊥平面ABCDEF,A到CD的距離為,∴P到邊CD的距離是2a
385. △ABC在平面α內(nèi),∠C=90°,點Pα,PA=PB=PC=7, AB=10, 則點P到平面α的距離等于
解析:.
∵PA=PB=PC,∴P在平面α內(nèi)的射影為△ABC的外心O,∵∠C=90°,∴O為AB的中點,∵AO=5,PA=7,∴PO=
384. 直角三角形ABC的斜邊AB在平面α內(nèi),直角頂點C在平面α外,C在平面α內(nèi)的射影為C1,且C1AB,則△C1AB為 ( )
(A)銳角三角形 (B)直角三角形
(C)鈍角三角形 (D)以上都不對
解析:(C)
∵C1A2+C1B2<CA2+CB2 =AB, ∴∠AC1B為鈍角,則△C1AB為鈍角三角形.
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