442. 下列命題中正確的是( ).
A.若a是平面a 的斜線,直線b垂直于a在平面a 內的射影為,則a⊥b
B.若a是平面a 的斜線,平面b 內的直線b垂直于a在平面a 內的射影為,則a ⊥b
C.若a是平面a 的斜線,直線b平行于平面a ,且b垂直于a在平面a 內的射影,則a⊥b
D.若a是平面a 的斜線,b是平面a 內的直線,且b垂直于a在另一個平面b 內的射影,則a⊥b
解析:C.如圖答9-18,直線b垂直于a在平面a 內的射影,但不能得出a⊥b的結論.排除A.令b 是直線a與其在a 內的射影確定的平面,在b 內取垂直于的直線為b,不能得出a⊥b的結論.排除B.同理排除D.如圖答9-19,在a 內任取點P,∵ ,則過b與P確定平面g ,設,因為b∥a ,則.∵ ,∴ .∴ ,∴ b⊥a.于是C正確.
441. 已知直線PG⊥平面a 于G,直線EFa ,且PF⊥EF于F,那么線段PE、PF、PG的關系是( ).
A.PE>PG>PF B.PG>PF>PE
C.PE>PF>PG D.PF>PE>PG
解析:C.如圖答9-17.PG⊥a ,EFa ,PF⊥EF,則GF⊥EF.在Rt△PGF中,PF為斜邊,PG為直角邊,PF>PG.在Rt△PFE中,PF為直角邊,PE為斜邊,PE>PF,所以有PE>PF>PG.
440. ABCD是平面a 內的一個四邊形,P是平面a 外的一點,則△PAB、△PBC、△PCD、△PDA中是直角三角形的最多有( ).
A.1個 B.2個 C.3個 D.4個
解析:D.作矩形ABCD,PA⊥平面AC,則所有的三角形都是直角三角形
439. 直線a、b均在平面a 外,若a、b在平面a 上的射影是兩條相交直線,則a和b的位置關系是( ).
A.異面直線 B.相交直線 C.平行直線 D.相交或異面直線
解析:D
438. 若直線l與平面a 所成角為,直線a在平面a 內,且與直線l異面,則直線l與直線a所成的角的取值范圍是( ).
A. B.
C. D.
解析:C.因為直線l是平面的斜線,斜線與平面所成的角,是這條斜線和這個平面內的直線所成的一切角中最小的角,故a與l所成的角大于或等于;又因為異面直線所成的角不大于,故選C.
437. 已知a、b是異面直線,那么經過b的所在平面中( ).
A.只有一個平面與a平行 B.有無數(shù)個平面與a平行
C.只有一個平面與a垂直 D.有無數(shù)個平面與a垂直
解析:A.過b上任一點P作直線,由和b確定的平面a 與a平行,這個平面是過b且平行于a的唯一一個平面.故排除B.當a與b不垂直時,假設存在平面b ,使bb ,且a⊥b ,則a⊥b,這與a、b不垂直矛盾,所以當a、b不垂直時,不存在經過b且與a垂直的平面,當a、b垂直時,過b且與a垂直的平面是唯一的,設a、b的公垂線為c,則由c和b所確定的平面與a垂直,且唯一.
436. 空間四邊形ABCD的四條邊相等,那么它的兩條對角線AC和BD的關系是( ).
A.相交且垂直 B.相交但不垂直
C.不相交也不垂直 D.不相交但垂直
解析:D.取BD中點O,則BD⊥AO,BD⊥CO,故BD⊥平面ACO,因此BD⊥AC.
435. 圓柱形容器的內壁底半徑為5cm,兩個直徑為5cm的玻璃小球都浸沒于容器的水中,若取出這兩個小球,則容器內的水面將下降 cm.
解析:球的體積等于它在容器中排開水的體積.
解: 設取出小球后,容器水平面將下降hcm,兩小球體積為V球=2×π×52×h,V1= V球
即 25πh=π ∴h=cm.
∴應填.
434. 在球面上有四個點P、A、B、C.如果PA、PB、PC兩兩互相垂直,且PA=PB=PC=a,那么這個球的表面積是 .
解析:由已知可得PA、PB、PC實際上就是球內接正方體中交于一點的三條棱,正方體的對角線長就是球的直徑,連結過點C的一條對角線CD,則CD過球心O,對角線CD=a.
∴S球表面積=4π·(a)2=3πa2.
433. 長方體的一個頂點上的三條棱分別是3、4、5,且它的八個頂點都在同一球面上,這個球的表面積是( )
A.20π B.25π C.50π D.200π
解析: 正方體的對角線為l,球的半徑為R,則l=2R.
得:l2=4R2=32+42+52=50
從而 S球=4πR2=50π
∴應選C.
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