92. 已知：平面α∥平面β，線段AB分別交α、β于點M、N；線段AD分別交α、β于點C、D；線段BF分別交α、β于點F、E，且AM=m,BN=n,MN=p，△FMC面積=(m+p)(n+p),求：END的面積.

解析：如圖，面AND分別交α、β于MC，ND，因為α∥β，

故MC∥ND，同理MF∥NE，得

∠FMC＝∠END，

∴ND∶MC＝(m+p)：m和EN∶FM＝n∶(n+p)

S_△END∶S_△FMC＝

得S_△END＝×S_△FMC

＝·(m+p)(n+p)=(m+p)²

∴△END的面積為(m+p)²平方單位.

91. 如圖，正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E在AB₁上，F在BD上，且B₁E＝BF.

求證：EF∥平面BB₁C₁C.

證法一：連AF延長交BC于M，連結(jié)B₁M.

∵AD∥BC

∴△AFD∽△MFB

∴

又∵BD＝B₁A，B₁E＝BF

∴DF＝AE

∴

∴EF∥B₁M，B₁M平面BB₁C₁C

∴EF∥平面BB₁C₁C.

證法二：作FH∥AD交AB于H，連結(jié)HE

∵AD∥BC

∴FH∥BC，BCBB₁C₁C

∴FH∥平面BB₁C₁C

由FH∥AD可得

又BF＝B₁E，BD＝AB₁

∴

∴EH∥B₁B，B₁B平面BB₁C₁C

∴EH∥平面BB₁C₁C，

EH∩FH＝H

∴平面FHE∥平面BB₁C₁C

EF平面FHE

∴EF∥平面BB₁C₁C

說明：證法一用了證線面平行，先證線線平行.證法二則是證線面平行，先證面面平行，然后說明直線在其中一個平面內(nèi).

90. 三個平面兩兩相交得三條直線，求證：這三條直線相交于同一點或兩兩平行.

已知：平面α∩平面β＝a，平面β∩平面γ＝b，平面γ∩平面α＝c.

求證：a、b、c相交于同一點，或a∥b∥c.

證明：∵α∩β＝a，β∩γ＝b

∴a、bβ

∴a、b相交或a∥b.

(1)a、b相交時，不妨設(shè)a∩b＝P，即P∈a，P∈b

而a、bβ，aα

∴P∈β，P∈α，故P為α和β的公共點

又∵α∩γ＝c

由公理2知P∈c

∴a、b、c都經(jīng)過點P，即a、b、c三線共點.

(2)當(dāng)a∥b時

∵α∩γ＝c且aα，aγ

∴a∥c且a∥b

∴a∥b∥c

故a、b、c兩兩平行.

由此可知a、b、c相交于一點或兩兩平行.

說明：此結(jié)論常常作為定理使用，在判斷問題中經(jīng)常被使用.

89. 已知平面、、、．其中∩=l，∩=a，∩=，a∥，∩=b，∩=，b∥

上述條件能否保證有∥？若能，給出證明，若不能給出一個反例，并添加適當(dāng)?shù)臈l件，保證有∥．

不足以保證∥．

如右圖．

如果添加條件a與b是相交直線，那么∥．

證明如下：

a∥a∥

b∥b∥

∵ a，b是內(nèi)兩條相交直線，

∴ ∥．

88. 已知：直線a∥平面．求證：經(jīng)過a和平面平行的平面有且僅有一個．

證：過a作平面與交于，在內(nèi)作直線與相交，在a上任取一點P，在和P確定的平面內(nèi)，過P作b∥．b在外，在內(nèi)，

∴ b∥

而a∥

∴ a，b確定的平面過a且平行于．

∵ 過a，b的平面只有一個，

∴ 過a平行于平面的平面也只有一個

87. 已知正三棱柱ABC－A₁B₁C₁，底面邊長為8，對角線B₁C=10，D為AC的中點．

(1) 求證AB₁∥平面C₁BD；

(2) 求直線AB₁到平面C₁BD的距離．

證明：(1) 設(shè)B₁C∩BC₁=O．

連DO，則O是B₁C的中點．

在△ACB₁中，D是AC中點，O是B₁C中點．

∴ DO∥AB₁，

又DO平面C₁BD，AB₁平面C₁BD，

∴ AB₁∥平面C₁BD．

解：(2) 由于三棱柱ABC－A₁B₁C₁是正三棱柱，D是AC中點，

∴ BD⊥AC，且BD⊥CC₁，

∴ BD⊥平面AC₁，

平面C₁BD⊥平面AC₁，C₁D是交線．

在平面AC₁內(nèi)作AH⊥C₁D，垂足是H，

∴ AH⊥平面C₁BD，

又AB₁∥平面C₁BD，故AH的長是直線AB₁到平面C₁BD的距離．

由BC=8，B₁C=10，得CC₁=6，

在Rt△C₁DC中，DC=4，CC₁=6，

在Rt△DAH中，∠ADH=∠C₁DC

∴ ．

即AB₁到平面C₁BD的距離是．

評述：證明線面平行的關(guān)鍵是在平面內(nèi)找出與已知直線平行的直線，如本題的DO．本題的第(2)問，實質(zhì)上進(jìn)行了“平移變換”，利用AB₁∥平面C₁BD，把求直線到平面的距離變換為求點A到平面的距離．

86. 已知：正方體ABCD－A₁B₁C₁D₁棱長為a．

(1) 求證：平面A₁BD∥平面B₁D₁C；

(2) 求平面A₁BD和平面B₁D₁C的距離．

證明：(1) 在正方體ABCD－A₁B₁C₁D₁中，

∵ BB₁平行且等于DD₁，

∴ 四邊形BB₁D₁D是平行四邊形，

∴ BD∥B₁D₁，

∴ BD∥平面B₁D₁C．

同理 A₁B∥平面B₁D₁C，

又A₁B∩BD=B，

∴ 平面A₁BD∥平面B₁D₁C

解：(2) 連AC₁交平面A₁BD于M，交平面B₁D₁C于N．

AC是AC₁在平面AC上的射影，又AC⊥BD，

∴ AC₁⊥BD，

同理可證，AC₁⊥A₁B，

∴ AC₁⊥平面A₁BD，即MN⊥平面A₁BD，

同理可證MN⊥平面B₁D₁C．

∴ MN的長是平面A₁BD到平面B₁D₁C的距離，

設(shè)AC、BD交于E，則平面A₁BD與平面A₁C交于直線A₁E．

∵ M∈平面A₁BD，M∈AC₁平面A₁C，

∴ M∈A₁E．

同理N∈CF．

在矩形AA₁C₁C中，見圖9－21(2)，由平面幾何知識得

，

∴ ．

評述：當(dāng)空間圖形較為復(fù)雜時，可以分解圖形，把其中的平面圖形折出分析，利于清楚地觀察出平面上各種線面的位置關(guān)系．證明面面平行，主要是在其中一個平面內(nèi)找出兩條與另一個平面平行的相交直線，或者使用反證法．

85. 已知直三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，AC=BC，M、N分別是A₁B₁，AB的中點，P點在線段B₁C上，則NP與平面AMC₁的位置關(guān)系是　　　　　 (　　 )

(A) 垂直

(B) 平行

(C) 相交但不垂直

(D) 要依P點的位置而定

解析：由題設(shè)知B₁M∥AN且B₁M=AN，

四邊形ANB₁M是平行四邊形，

故B₁N∥AM，B₁N∥AMC₁平面．

又C₁M∥CN，得CN∥平面AMC₁，則平面B₁NC∥AMC₁，NP平面B₁NC，

∴ NP∥平面AMC₁．

答案選B．

84. 已知a、b、c是三條不重合的直線，α、β、r是三個不重合的平面，下面六個命題：

①a∥c，b∥ca∥b；

②a∥r，b∥ra∥b；

③α∥c，β∥cα∥β；

④α∥r，β∥rα∥β；

⑤a∥c，α∥ca∥α；

⑥a∥r，α∥ra∥α．

其中正確的命題是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　　 )

(A) ①④　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (B) ①④⑤

(C) ①②③　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (D) ①⑤⑥

解析：由公理4“平行于同一條直線的兩條直線互相平行”可知命題①正確；若兩條不重合的直線同平行于一個平面，它們可能平行，也可能異面還可能相交，因此命題②錯誤；平行于同一條直線的兩個不重合的平面可能平行，也可能相交，命題③錯誤；平行于同一平面的兩個不重合的平面一定平行，命題④正確；若一條直線和一個平面分別平行于同一條直線或同一個平面，那么這條直線與這個平面或平行，或直線在該平面內(nèi)，因此命題⑤、⑥都是錯的，答案選A．

83. 已知：a、b是異面直線，a平面a，b平面b，a∥b，b∥a．

求證：a∥b．

證法1：在a上任取點P，

顯然P∈b．

于是b和點P確定平面g．

且g 與a 有公共點P

∴ a ∩g＝b′

且b′和a交于P，

∵ b∥a ，

∴ b∥b′

∴ b′∥b

而a∥b

這樣a 內(nèi)相交直線a和b′都平行于b

∴ a∥b．

證法2：設(shè)AB是a、b的公垂線段，

過AB和b作平面g ，

g ∩＝b′，

過AB和a作平面d ，

∩b＝a′．

a∥a∥a′

b∥b∥b′

∴AB⊥aAB⊥a′，AB⊥bAB⊥b′

于是AB⊥a 且AB⊥b，∴ a∥b．