403.求證:在已知二面角,從二面角的棱出發(fā)的一個(gè)半平面內(nèi)的任意一點(diǎn),到二面角兩個(gè)面的距離的比是一個(gè)常數(shù).
已知:二面角α-ED-β,平面過ED,A∈,AB⊥α,垂足是B.AC⊥β,垂足是C.
求證:AB∶AC=k(k為常數(shù))
證明:過AB、AC的平面與棱DE交于點(diǎn)F,連結(jié)AF、BF、CF.
∵AB⊥α,AC⊥β.∴AB⊥DE,AC⊥DE.
∴DE⊥平面ABC.∴BF⊥DE,AF⊥DE,CF⊥DE.
∠BFA,∠AFC分別為二面角α-DE-,-DE-β的平面角,它們?yōu)槎ㄖ?
在RtΔABF中,AB=AF·sin∠AFB.
在RtΔAFC中,AC=AF·sin∠AFC,得:
==定值.
402.自二面角內(nèi)一點(diǎn)分別向兩個(gè)面引垂線,求證:它們所成的角與二面角的平面角互補(bǔ).
已知:從二面角α-AB-β內(nèi)一點(diǎn)P,向面α和β分別引垂線PC和PD,它們的垂足是C和D.求證:∠CPD和二面角的平面角互補(bǔ).
證:設(shè)過PC和PD的平面PCD與棱AB交于點(diǎn)E,
∵PC⊥α,PD⊥β
∴PC⊥AB,PD⊥AB
∴CE⊥AB,DE⊥AB
又∵CEα,DEβ,∴∠CED是二面角α-AB-β的平面角.
在四邊形PCED內(nèi):∠C=90°,∠D=90°
∴∠CPD和二面角α-AB-β的平面∠CBD互補(bǔ).
401. 如圖,在ΔABC中,∠ACB=90°,BC=a,AC=b,D是斜邊AB上的點(diǎn),以CD為棱把它折成直二面角A-CD-B后,D在怎樣的位置時(shí),AB為最小,最小值是多少?
解析: 設(shè)∠ACD=θ,則∠BCD=90°-θ,作AM⊥CD于M,BN⊥CD于N,于是AM=bsinθ,CN=asinθ.
∴MN=|asinθ-bcosθ|,因?yàn)锳-CD-B是直二面角,AM⊥CD,BN⊥CD,∴AM與BN成90°的角,于是AB==≥.
∴當(dāng)θ=45°即CD是∠ACB的平分線時(shí),AB有最小值,最小值為.
400. 斜三棱柱ABC-A1B1C1的底面△ABC中,AB=AC=10,BC=12,A1到A、B、C三點(diǎn)的距離都相等,且AA1=13,求斜三棱柱的側(cè)面積。
解析:∵A1A=A1B=A1C
∴ 點(diǎn)A1在平面ABC上的射影為△ABC的外心,在∠BAC平分線AD上
∵ AB=AC
∴ AD⊥BC
∵ AD為A1A在平面ABC上的射影
∴ BC⊥AA1
∴ BC⊥BB1
∴ BB1C1C為矩形,S=BB1×BC=156
取AB中點(diǎn)E,連A1E
∵ A1A=A1B
∴ A1E⊥AB
∴
∴
∴ S側(cè)=396
399. 四棱錐V-ABCD底面是邊長(zhǎng)為4的菱形,∠BAD=1200,VA⊥底面ABCD,VA=3,AC與BD交于O,(1)求點(diǎn)V到CD的距離;(2)求點(diǎn)V到BD的距離;(3)作OF⊥VC,垂足為F,證明OF是BD與VC的公垂線段;(4)求異面直線BD與VC間的距離。
解析:用三垂線定理作點(diǎn)到線的垂線
在平面ABCD內(nèi)作AE⊥CD,E為垂足
∵ VA⊥平面ABCD
∴ AE為VE在平面ABCD上的射影
∴ VE⊥CD
∴ 線段VE長(zhǎng)為點(diǎn)V到直線CD的距離
∵ ∠BAD=1200
∴ ∠ADC=600
∴ △ACD為正三角形
∴ E為CD中點(diǎn),AE=
∴ VE=
(2)∵ AO⊥BD
∴ 由三垂線定理VO⊥BD
∴ VO長(zhǎng)度為V到直線BD距離
VO=
(3)只需證OF⊥BD
∵ BD⊥HC,BD⊥VA
∴ BD⊥平面VAC
∴ BD⊥OF
∴ OF為異面直線BD與VC的公垂線
(4)求出OF長(zhǎng)度即可
在Rt△VAC中
OC=AC=2,VC=
∴ OF=OC·sin∠ACF=OC·
398. 平面α內(nèi)有半徑為R的⊙O,過直徑AB的端點(diǎn)A作PA⊥α,PA=a,C是⊙O上一點(diǎn),∠CAB=600,求三棱錐P-OBC的側(cè)面積。
解析:三棱錐P-OBC的側(cè)面由△POB、△POC、△PBC三個(gè)三角形組成
在求出邊長(zhǎng)元素后,求三角形面積時(shí),應(yīng)注意分析三角形的形狀,簡(jiǎn)化計(jì)算
∵ PA⊥平面ABC
∴ PA⊥AO,AC為PC在平面ABC上的射影
∵ BC⊥AC
∴ BC⊥PC
△ POB中,
△ PBC中,BC=ABsin600=2a
∴ AC=a
∴ PC=
∴
△ POC中,PO=PC=,OC=a
∴
∴ S側(cè)=
397. 斜三棱柱ABC-A1B1C1中,底面是邊長(zhǎng)為4cm的正三角形,側(cè)棱AA1與底面兩邊AB、AC均成600的角,AA1=7
(1)求證:AA1⊥BC;(2)求斜三棱柱ABC-A1B1C1的全面積;(3)求斜三棱柱ABC-A1B1C1的體積;(4)求AA1到側(cè)面BB1C1C的距離。
解析:設(shè)A1在平面ABC上的射影為0
∵ ∠A1AB=∠A1AC
∴ O在∠BAC的平行線AM上
∵ △ABC為正三角形
∴ AM⊥BC
又AM為A1A在平面ABC上的射影
∴ A1A⊥BC
(2)
∵ B1B∥A1A
∴ B1B⊥BC,即側(cè)面BB1C1C為矩形
∴
又
∴ S全=
(3)∵ cos∠A1AB=cos∠A1AO·cos∠OAB
∴ cos∠A1AO=
∴ sin∠A1AO=
∴ A1O=A1Asin∠A1AO=
∴
(4)把線A1A到側(cè)面BB1C1C的距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)A或A1到平面BB1C1C的距離
為了找到A1在側(cè)面BB1C1C上的射影,首先要找到側(cè)面BB1C1C的垂面
設(shè)平面AA1M交側(cè)面BB1C1C于MM1
∵ BC⊥AM,BC⊥A1A
∴ BC⊥平面AA1M1M
∴ 平面AA1M1M⊥側(cè)面BCC1B1
在平行四邊形AA1M1M中
過A1作A1H⊥M1M,H為垂足
則A1H⊥側(cè)面BB1C1C
∴ 線段A1H長(zhǎng)度就是A1A到側(cè)面BB1C1C的距離
∴
396. 正三棱柱ABC-A1B1C1的底面邊長(zhǎng)為a,在側(cè)棱BB1上截取BD=,在側(cè)棱CC1上截取CE=a,過A、D、E作棱柱的截面ADE
(1)求△ADE的面積;(2)求證:平面ADE⊥平面ACC1A1。
解析:分別在三個(gè)側(cè)面內(nèi)求出△ADE的邊長(zhǎng)
AE=a,AD=a,DE=
∴ 截面ADE為等腰三角形
S=
(2)∵ 底面ABC⊥側(cè)面AA1C1C
∴ △ABC邊AC上的高BM⊥側(cè)面AA1C1C
下設(shè)法把BM平移到平面AED中去
取AE中點(diǎn)N,連MN、DN
∵ MNEC,BDEC
∴ MNBD
∴ DN∥BM
∴ DN⊥平面AA1C1C
∴ 平面ADE⊥平面AA1C1C
395. 已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ACB=900,∠BAC=300,BC=1,AA1=,M為CC1中點(diǎn),求證:AB1⊥A1M。
解析:因結(jié)論是線線垂直,可考慮用三垂線定理或逆定理
∵ ∠ACB=900
∴ ∠A1C1B1=900
即B1C1⊥C1A1
又由CC1⊥平面A1B1C1得:CC1⊥B1C1
∴ B1C1⊥平面AA1C1C
∴ AC1為AB1在平面AA1C1C的射影
由三垂線定理,下證AC1⊥A1M即可
在矩形AA1C1C中,AC=A1C1=,AA1=CC1=
∵ ,
∴
∴ Rt△A1C1M∽R(shí)t△AA1C1
∴ ∠1=∠2
又∠2+∠3=900
∴ ∠1+∠3=900
∴ AC1⊥A1M
∴ AB1⊥A1M
評(píng)注:利用三垂線定理的關(guān)鍵是找到基本面后找平面的垂線
394. 如右圖,斜三棱柱ABC-A1B1C1中,A1C1⊥BC1,AB⊥AC,AB=3,AC=2,側(cè)棱與底面成60°角。
(1)求證:AC⊥面ABC1;
(2)求證:C1點(diǎn)在平面ABC上的射影H在直線AB上;
(3)求此三棱柱體積的最小值。
解析:(1)由棱柱性質(zhì),可知A1C1//AC
∵A1C1BC1,
∴ACBC1,又∵ACAB,∴AC平面ABC1
(2)由(1)知AC平面ABC1,又AC平面ABC,∴平面ABC平面ABC1
在平面ABC1內(nèi),過C1作C1HAB于H,則C1H平面ABC,故點(diǎn)C1在平面ABC上
的射影H在直線AB上。
(3)連結(jié)HC,由(2)知C1H平面ABC,
∴∠C1CH就是側(cè)棱CC1與底面所成的角,
∴∠C1CH=60°,C1H=CH·tan60°=
V棱柱=
∵CAAB,∴CH,所以棱柱體積最小值3。
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