70. 將邊長為1的正方形ABCD,沿對角線AC折起,使BD=.則三棱錐D-ABC的體積為
解析:設(shè)AC、BD交于O點(diǎn),則BO⊥AC 且DO⊥AC,在折起后,這個垂直關(guān)系不變,因此∠BOD是二面角B-AC-D的平面角. 由于△DOB中三邊長已知,所以可求出∠BOD:
這是問題的一方面,另一方面為了求體積,應(yīng)求出高,這個高實(shí)際上是△DOB中,OB邊上的高DE,理由是: ∵DE⊥OB ∴DE⊥面ABC.
由cos∠DOB=,知sin∠DOE= ∴DE= ∴ 應(yīng)選(B)
69. 如圖,ABCD-A1B1C1D1是正方體,E、F分別是AD、DD1的中點(diǎn),則面EFC1B和面BCC1所成二面角的正切值等于 解析:為了作出二面角E-BC1-C的平面角,需在一個面內(nèi)取一點(diǎn),過該點(diǎn)向另一個面引垂線(這是用三垂線定理作二面角的平面角的關(guān)鍵步驟)!
從圖形特點(diǎn)看,應(yīng)當(dāng)過E(或F)作面BCC1的垂線. 解析:過E作EH⊥BC,垂足為H. 過H作HG⊥BC1,垂足為G.連EG. ∵面ABCD⊥面BCC1,而EH⊥BC ∵EH⊥面BEC1, EG是面BCC1的斜線,HG是斜線EG在面BCC1內(nèi)的射影. ∵HG⊥BC1,
∴EG⊥BC1, ∴∠EGH是二面角E-BC1-C的平面角。 在Rt△BCC1中:sin∠C1BC== 在Rt△BHG中:sin∠C1BC= ∴HG=(設(shè)底面邊長為1).
而EH=1, 在Rt△EHG中:tg∠EGH= ∴∠EGH=arctg 故二面角E-BC1-C 等于arctg.
68. m和n是分別在兩個互相垂直的面α、β內(nèi)的兩條直線,α與β交于l,m和n與l既不垂直,也不平行,那么m和n的位置關(guān)系是 A.可能垂直,但不可能平行 B.可能平行,但不可能垂直 C.可能垂直,也可能平行 D.既不可能垂直,也不可能平行
解析:這種結(jié)構(gòu)的題目,常常這樣處理,先假設(shè)某位置關(guān)系成立,在此基礎(chǔ)上進(jìn)行推理,若無矛盾,且推理過程可逆,就肯定這個假設(shè);若有矛盾,就否定這個假設(shè)。 設(shè)m//n,由于m在β外,n在β內(nèi), ∴m//β 而α過m與β交于l ∴m//l,這與已知矛盾, ∴m不平行n. 設(shè)m⊥n,在β內(nèi)作直線α⊥l, ∵α⊥β, ∴a⊥α, ∴m⊥a. 又由于n和a共面且相交(若a//n 則n⊥l,與已知矛盾) ∴m⊥β, ∴m⊥l與已知矛盾, ∴m和n不能垂直. 綜上所述,應(yīng)選(D).
67. 直線a是平面α的斜線,b在平α內(nèi),已知a與b成60°的角,且b與a在平α內(nèi)的射影成45°角時(shí),a與α所成的角是( )
A.45° B.60°
C.90° D.135°
解A
66. 空間四邊形ABCD中,AD=BC=2,E,F分別是AB,CD的中點(diǎn),EF=√3,則AD,BC所成的角為( )
A.30° B.60°
C.90° D.120°
解B注:考察異面直線所成角的概念,范圍及求法,需注意的是,異面直線所成的角不能是鈍角,而利用平行關(guān)系構(gòu)造可求解的三角形,可能是鈍角三角形,望大家注意。同時(shí)求角的大小是先證明再求解這一基本過程。
65..如圖,空間四邊形ABCD的各邊及對角線長都是1,點(diǎn)M在邊AB上運(yùn)動、點(diǎn)Q在邊CD上運(yùn)動,則P、Q的最短距離為( )
解析:B
當(dāng)M,N分別為中點(diǎn)時(shí)。
因?yàn)锳B, CD為異面直線,所以M, N的最短距離就是異面直線AB,CD的距離為最短。連接BN,AN則CD⊥BN,CD⊥AN且AN=BN,所以NM⊥AB。同理,連接CM,MD可得MN⊥CD。所以MN為AB,CD的公垂線。因?yàn)锳N=BN=所以在RT△BMN中,MN=求異面直線的距離通常利用定義來求,它包括兩個步驟:先證一條線段同時(shí)與兩異面直線相交垂直;再利用數(shù)量關(guān)系求解。在做綜合題時(shí)往往大家只重視第二步,而忽略第一步。
64.異面直線a、b,a⊥b,c與a成30°角,則c與b成角的范圍是
( )
A. B.
C. D.
解A 直線c在位置c2時(shí),它與b成角的最大值為90°,直線c在c1位置時(shí),它與b成角的最小值是60°
63.. 正方體ABCD-A’B’C’D’中,異面直線CD’和BC’所成的角的度數(shù)是( )
A.45° B.60°
C.90° D.120°
解析:B
∠AD’C=60°即為異面直線CD’和BC’所成的角的度數(shù)為60°
62.在正方體ABCD-A’B’C’D’中12條棱中能組成異面直線的總對數(shù)是
( )
A.48對 B.24對
C.12對 D.6對
解析:B
棱AA’有4條與之異面,所以,所有棱能組成4×12=48對,但每一對都重復(fù)計(jì)算一次,共有24對.
61. 在正方體ABCD-A’B’C’D’中,與棱AA’異面的直線共有幾條
( )
A.4 B.6
C.8 D.10
解析:A
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