0  446483  446491  446497  446501  446507  446509  446513  446519  446521  446527  446533  446537  446539  446543  446549  446551  446557  446561  446563  446567  446569  446573  446575  446577  446578  446579  446581  446582  446583  446585  446587  446591  446593  446597  446599  446603  446609  446611  446617  446621  446623  446627  446633  446639  446641  446647  446651  446653  446659  446663  446669  446677  447090 

452.  求棱長為a的正方體ABCD-A1B1C1D1的面對角線A1C1與AB1的距離.

解法一:連結(jié)BD1,取A1B1的中點E,連BE交AB1于M,連D1E交A1C1于N,連MN.

因為ΔA1NE∽ΔC1ND1,所以,

,同理.

.∴MN∥BD1.

由三垂線定理知BD1與A1C1、AB1都垂直,故MN為兩對角線的公垂線,

又ΔEMN∽ΔEBD1

.∴MN=a.

解法二:取A1M=,B1N=,過N作NP⊥A1B1于P,連MP,則ΔMPN為直角三角形,由計算,PM=a,PN=a,故MN=a.又A1N=a,A1M=a,故A1N2=A1M2+MN2,于是MN⊥A1C1;同理,由AN=a,AM=a,MN=a可知MN⊥AB1.故MN為AB1與A1C1的公垂線段,從而AB1與A1C1的距離為a.

解法三:可轉(zhuǎn)化為求平行平面間的距離.連A1D,C1D,A1C1,B1C.易知A1D∥B1C,A1C1∥AC.故平面A1DC1∥平面AB1C.連BD1,設(shè)與平面A1DC1交于M,與平面AB1C交于N.因BD1與圖中所示6條面對角線都垂直,故BD⊥面A1DC1,也垂直于AB1C.即MN是A1C1與AB1的距離,在RtΔD1DB中,D1M=a,而同理可求BN=a,故

MN=a-a-a=a.

說明  上例還可以利用直線與平面平行、體積轉(zhuǎn)換等方法求解.

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451.  如圖1,線段AB平面α,線段CD平面β,且平面α∥平面β,AB⊥CD,AB=CD=a,α、β的距離為h,求四面體ABCD的體積.

        

圖1                 圖2

解析:依題意可構(gòu)造一個底面對角線長為a,高為h的正四棱柱(如圖2).

顯然,正四棱柱的底面邊長為a.其體積為

V=(a)2h=a2h.

而三棱錐C-AC′B的體積為

VV.

故四面體ABCD的體積為

V=V-4V=V-V

Va2h.

說明  本題運用了“構(gòu)造輔助體”的解題技巧.

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450. 四面體對棱長分別相等,分別是a,b,c.求體積.

解析: 把四面體“嵌入”棱長為x,y,z的長方體(如圖).其充分條件是

有實數(shù)解

如果關(guān)于x,y,z的方程組有實數(shù)解,則四面體體積

V=xyz-4··(xy)·z=xyz

說明  對棱相等的四面體各面是全等的銳角三角形,本題采用了體積分割法,轉(zhuǎn)化法求體積.

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449. PAPB、PC是從點P出發(fā)的三條射線,每兩條射線的夾角為60°,求直線PC與平面PAB所成的角的余弦值.

解析:如圖答9-22,在PC上任取一點D,作DH⊥平面PABH,則∠DPHPC與平面PAB所成的角.作HEPAE,HFPBF,連結(jié)PHDE,DF.∵  EH、FH分別為DE、DF在平面PAB內(nèi)的射影,由三垂線定理可得DEPADFPB.∵  ∠DPE=∠DPF,∴  △DPE≌△DPF.∴  PE=PF.∴  Rt△HPE≌Rt△HPF,∴  HE=HF,∴  PH是∠APB的平分線.設(shè)EH=a,則PH=2EH=2a,.在Rt△PDE中,∠DPE=60°,DEPA,∴  .在Rt△DPH中,DHHP,PH=2a,∴ 

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448. 如圖9-32,△ABD和△ACD都是以D為直角頂點的直角三角形,且AD=BD=CD,∠BAC=60°.求證:

圖9-32

 (1)BD⊥平面ADC

 (2)若H是△ABC的垂心,則HD在平面ABC內(nèi)的射影.

解析:(1)設(shè)AD=BD=CD=a,則.∵  ∠BAC=60°,∴  .由勾股定理可知,∠BDC=90°.即BDDC,又∵  BDADADDC=D,∴  BD⊥平面ADC

 (2)如圖答9-21,要證HD在平面ABC上的射影,只需證DH⊥平面ABD.連結(jié)HA、HB、HC.∵  H是△ABC的垂心,∴  CHAB.∵  CDDA,CDBD,∴  CD⊥平面ABD,∴  CDAB.∵  CHCD=C,∴  AB⊥平面DCH.  ∵  DH平面DCH,∴  ABDH,即DHAB,同理DHBC.∵  ABBC=B,∴  DH⊥平面ABC

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447. 如圖9-31,SA、SBSC三條直線兩兩垂直,點HS在平面ABC上的射影,求證:H是△ABC的垂心.

解析:∵  SCSASCSB,且SASB=S,∴  SC⊥平面SAB,∴  ABSC.∵  HS在平面ABC上的射影,∴  SH⊥平面ABC.連結(jié)CHCHSC在平面ABC上的射影,∵  ABSC,由三垂線定理的逆定理可知CHAB,即CHAB的垂線.同理AHBC,即AHBC邊的垂線.H為△ABC兩條垂線的交點,∴  H為△ABC垂心.

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446. 如圖9-30,直線a、b是異面直線,它們所成角為30°,ab的公垂線段,.另有B在直線a上,且BA=2cm,求點B到直線b的距離.

解析:如圖答9-20,過,則b確定平面a .作C,在平面a 內(nèi)作CDbD,連結(jié)BD.∵  ∴  .  ∵  ,,∴  .∵  ,∴  BCa .∵  CDb,∴  BDb(三垂線定理),即BDB點到b的距離.∵  ,∴  為異面直線ab所成的角,∴  .∵  ,,∴  CD=1.在Rt△BCD中,CD=1,∠BCD=90°,∴  ,∴ 

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445. 如圖9-29,PA⊥平面ABCD,ABCD是矩形,M、N分別是AB、PC的中點.求證:MNAB

圖9-29

解析:連結(jié)AC,取AC中點O,連結(jié)OMON.由OMBC,得OMAB.又NOPA,且PAAB,故NOAB.由此可得AB⊥平面OMN.因此MNAB

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444. 已知正方體.則

 (1)與平面ABCD所成的角等于________;

 (2)與平面ABCD所成的角的正切值等于________;

 (3)與平面所成的角等于________ ;

 (4)與平面所成的角等于________;

 (5)與平面所成的角等于________.

解析:(1)∵  ⊥平面ABCD,∴  與平面ABCD所成的角,

=45°.

 (2)∵  ⊥平面ABCD,∴  與平面ABCD所成的角.設(shè),則,∴ 

 (3)∵  平面,∴  ∥平面,∴  與平面所成的角為0°.

 (4)∵  ⊥平面,∴  與平面所成的角為90°.

 (5)連結(jié)AC,交ADH.連結(jié),∵  ⊥平面ABCD,CH平面ABCD,

∴  ,又∵  CHBD,∴  CH⊥平面.∴  在平面內(nèi)的射影.∴  與平面所成的角.設(shè)正方體棱長為1,則,∴  ,即與平面所成的角為30°.

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443. 設(shè)正方體的棱長為1,則

 (1)A的距離等于________;

 (2)A的距離等于________;

 (3)A到平面的距離等于________;

 (4)AB到平面的距離等于________.

解析:1)連接,AC,則,取的中點E,連結(jié)AE,則

∴  AE為點A到直線的距離,在Rt△ACE中,,, 

∴  ,∴  .即A、C的距離等于

(2)連結(jié).∵  AB⊥平面,∴  .在Rt△中,AB=1,,設(shè)A的距離為h,則.即

,∴  ,即點A的距離為

 (3)連結(jié)F,則.∵  CD⊥平面,且AF平面,∴  CDAF.∵  CDAD=D,∴  AF⊥平面.∴  AF為點A到平面的距離.∵  ,∴ 

 (4)∵  ABCD,∴  AB∥平面,∴  AB到平面的距離等于A

到平面的距離,等于

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