0  446490  446498  446504  446508  446514  446516  446520  446526  446528  446534  446540  446544  446546  446550  446556  446558  446564  446568  446570  446574  446576  446580  446582  446584  446585  446586  446588  446589  446590  446592  446594  446598  446600  446604  446606  446610  446616  446618  446624  446628  446630  446634  446640  446646  446648  446654  446658  446660  446666  446670  446676  446684  447090 

522. 已知正四棱錐的各條棱都是a.

(1)求底面一邊到相對(duì)側(cè)面的距離;

(2)求證:相鄰兩側(cè)面所成二面角等于側(cè)面和底面所成二面角的2倍;

(3)求相對(duì)兩側(cè)面所成二面角的余弦值.

(1)解:  作PO⊥底面ABCD,垂足是O,取BC、AD、PB的中點(diǎn)F、E、M,連結(jié)PE、PF、EF、OM、MC、MA.

∵AD∥BC,∴AD∥平面PBC,AD到平面PBC的距離就是E點(diǎn)到平面PBC的距離,∵BC⊥平面PEF,∴平面PEF⊥平面PBC.∴E點(diǎn)到交線PF的距離就是E點(diǎn)到平面PBC的距離d.

∴d·PF=PO·EF,d·a=a·,∴d=a.

(2)在ΔACM中,∵AM=MC=a,AD=OC,∴OM是∠AMC的平分線,又AM⊥PB,CM⊥PB,∴∠AMC是二面角A-PB-C的平面角,∠OFP是二面角P-BC-AD的平面角.

又∵AO=PO=a,AM=PF=a,∴RtΔPOF≌RtΔAMO.

∴∠AMC=2∠PFO,∴命題成立.

(3)設(shè)相對(duì)兩側(cè)面PBC、PAD的交線是l,∵AD∥BC,∴AD∥平面PBC,∴AD∥l,∵BC⊥平面PEF,∴l(xiāng)⊥平面PEF,∴∠EPF就是所求二面角的平面角.

∴cos∠EPF=.

試題詳情

521.  已知邊長(zhǎng)為10的正ΔABC的頂點(diǎn)A在平面α內(nèi),頂點(diǎn)B、C在平面α同側(cè),BD為AC邊上的中線,B、C到平面α的距離分別是BB1=2,CC1=4

(1)求證:BB1∥平面ACC1

(2)求證:BD⊥平面ACC1

(3)求四棱錐A-BCC1B1的體積

解析: 本小題考查空間圖形線、面的平行、垂直關(guān)系,考查邏輯思維能力和運(yùn)算能力.

解  (1)∵BB1⊥α,CC1⊥α,∴BB1∥CC1

∵BB1平面ACC1,CC1平面ACC1,

∴BB1∥平面ACC1.

(2)∵

過D點(diǎn)作AC1的垂線DD1,則DD1⊥α.

DD1CC1×4=2=BB1,

∴四邊形B1BDD1是矩形

∴B1D1BD

BD⊥平面ACC1

(3)在RtΔABD中,BD==B1D1

在RtΔACC1中,AC1,連結(jié)BC1,

+××AC1×B1D1×BB1+××AC1×CC1×BD.

××××2+××××4=30.

試題詳情

520.  如圖,在正三棱柱ABC-A1B1C1中E∈BB1,截面A1EC⊥側(cè)面AC1

(1)求證:BE=EB1

(2)若AA1=A1B1,求平面A1EC與平面A1B1C1所成二面角(銳角)的度數(shù)

解析: 欲證BE=EB1,可證A1E=EC,由截面A1EC⊥側(cè)面AC1,考慮到作EG⊥A1C于G,關(guān)鍵在于證出G是A1C的中點(diǎn),為了利用正棱柱的性質(zhì),可取AC中點(diǎn)F,證FG∥AA1即可.

證明:  (1)在截面A1EC中,作EG⊥A1C于G,∵面A1EC⊥面A1C,∴EG⊥面A1C,取AC中點(diǎn)F,連BF、FG,易證EBFG為平行四邊形,∴BE=FG,又證得FG=AA1,∴BE=AA1BB1,即BE=EB1.

(2)分別延長(zhǎng)CE、C1B1交于點(diǎn)D,連A1D,利用E是BB1的中點(diǎn),可證得A1C1⊥A1D,由三垂線定理,可證出A1C⊥A1D,

∴∠CA1C1為所求二面角的平面角,由A1A=A1C,得∠CA1C1=45°.

評(píng)析  本題解題思路:由證E是BB1的中點(diǎn)證G是A1C的中點(diǎn)GF∥AA1,要完成此過程,除具有扎實(shí)的立幾基本功外,尚需很好的平幾修養(yǎng),確實(shí)是一個(gè)考查基礎(chǔ)知識(shí)很全面的好題.

試題詳情

519.三棱錐的三個(gè)側(cè)面互相垂直,它們的面積分別為6m2,4m2和3m2,求它的體積.

解析:設(shè)三棱錐S-ABC的三條側(cè)棱長(zhǎng)分別為xm,ym,zm.則三個(gè)側(cè)面積分別為、、.

依題意: 則  xyz=24

而  VS-ABC=VA-SBC·yz·x=×24=4(m3)

∴它的體積為4m3.

試題詳情

518.將正方體截去一個(gè)角,求證:截面是銳角三角形.

已知:正方體中截去以P為頂點(diǎn)的一角得截面ABC.

求證:ΔABC是銳角三角形.

證明:如圖,P-ABC是一個(gè)四面體.

∵ΔPAB、ΔPBC、ΔPCA都是直角三角形.

則  z2(a2+b2-c2)

∵z≠0,∴a2+b2-c2>0

即  c2<a2+b2,∴b2<a2+c2.

∴∠BAC、∠ABC都小于90°.

∴ΔABC為銳角三角形.

試題詳情

517.  如圖三棱錐P-ABC中,PA=a,AB=AC=2a,∠PAB=∠PAC=∠BAC=60°,求三棱錐P-ABC的體積.

解法一:過點(diǎn)P作PO⊥平面ABC于點(diǎn)O,∵∠PAB=∠PAC=∠BAC=60°

∴AO平分∠BAC

∴cos∠PAO=,∴sin∠PAO=

∴PO=asin∠PAO=a

∴V棱錐××2a×2asin60°×a=a3

點(diǎn)評(píng)  這種方法叫直接法,就是利用錐體的體積公式直接計(jì)算,這是一種常規(guī)方法,必須掌握.

解法二:取AB、AC中點(diǎn)M、N的連結(jié)PM、PN

∵PA=a,AB=AC=2a,∠PAB=∠PAC=∠BAC=60°

∴三棱錐P-AMN為棱長(zhǎng)為a的正四面體,且SΔAMNSΔABC

∴VP-AMNVP-ABC,而VP-AMNa3

∴VP-ABC=4VP-AMNa3

點(diǎn)評(píng)  此法是根據(jù)棱長(zhǎng)與含有60°角的三角形的關(guān)系,把錐體截成棱長(zhǎng)相等的三棱錐,然后根據(jù)小錐體的體積與原棱錐的體積關(guān)系,求原棱錐的體積.

解法三  在ΔPAB中,PA=a,AB=2a

又∠PAB=60°,∴∠APB=90°

同理∠APC=90°∴AP⊥平面PBC

又SΔPBCa2  ∴VP-ABC=VA-PBC·a2·a=a3.

試題詳情

516.  在三棱錐A-BCD中,ΔABC和ΔBCD都是邊長(zhǎng)為a的正三角形,二面角A-BC-D=φ,問φ為何值時(shí),三棱錐的全面積最大。

解析:SΔBAC=SΔBCDa2為常量,所以三棱錐全面積的大小取決于SΔABD與SΔACD的大小,由于ΔABD≌ΔACD,所以只求SΔACD何時(shí)面積取最大值即可。∵SΔACDasin∠ACD,所以當(dāng)∠ACD=90°時(shí)面積最大,問題得解。

解  如圖,取BC中點(diǎn)M,連AM、DM,∴ΔABC和ΔBCD都是正三角形,∴∠AMD是二面角A-BC-D的平面角,∠AMD=φ,又∵ΔABD≌ΔACD,且當(dāng)∠ACD=90°時(shí),ΔACD和ΔABD面積最大,此時(shí)AD=a,在ΔAMD中,由余弦定理cos∠AMD=-,

∴當(dāng)φ=π-arccos時(shí),三棱錐A-BCD的全面積最大。

點(diǎn)評(píng)  本題將求棱錐全面積的最大值,轉(zhuǎn)化為求ΔACD面積的最大值,間接求得φ角。

試題詳情

515.  正三棱錐A-BCD,底面邊長(zhǎng)為a,側(cè)棱為2a,過點(diǎn)B作與側(cè)棱AC、AD相交的截面,在這樣的截面三角形中,求(1)周長(zhǎng)的最小值;(2)周長(zhǎng)為最小時(shí)截面積的值,(3)用這周長(zhǎng)最小時(shí)的截面截得的小三棱錐的體積與三棱錐體積之比.

解析:(1)沿側(cè)棱AB把正三棱錐的側(cè)面剪開展成平面圖.如圖1,當(dāng)周長(zhǎng)最小時(shí),EF在直線BB′上,∵ΔABE≌ΔB′AF,∴AE=AF,AC=AD,∴B′B∥CD,∴∠1=∠2=∠3,∴BE=BC=a,同理B′F=B′D=a.∵ΔFDB′∽ΔADB′,∴,,∴DF=a,AF=a.又∵ΔAEF∽ΔACD,∴BB′=a+a+a=a,∴截面三角形的周長(zhǎng)的最小值為a.

(2)如圖2,∵ΔBEF等腰,取EF中點(diǎn)G,連BG,則BG⊥EF.∴BG=a  ∴SΔBEF·EF·BG=·a=a2.

(3)∵VA-BCD=VB-ACD,而三棱錐B-AEF,三棱錐B-ACD的兩個(gè)高相同,所以它們體積之比于它們的兩底面積之比,即

評(píng)析  把曲面上的最短路線問題利用展開圖轉(zhuǎn)化為平面上兩點(diǎn)間距離的問題,從而使問題得到解決,這是求曲面上最短路線的一種常用方法.本題中的四面體,其中任何一個(gè)面都可以做為底面,因而它可有四個(gè)底面和與之對(duì)應(yīng)的四條高,在解決有關(guān)三棱錐體積題時(shí),需要靈活運(yùn)用這個(gè)性質(zhì).

試題詳情

514.  已知三棱錐各側(cè)面與底面成60°角.底面三角形的各角成等差數(shù)列,且最大邊與最小邊是方程3x2-21x+13=0的兩根.求此三棱錐的側(cè)面積和體積.

解析: 如圖,設(shè)底面三角形的邊長(zhǎng)為a、b、c.則由條件知∠B=60°,a+c=7,ac=,得b2=a2+c2-2accosB=(a+c)2-2ac(1+cosB)=72-2·(1+)=36b=6,由三角形面積公式,得acsinB=pr(其中p為半周長(zhǎng),r為內(nèi)切圓半徑),求得r=.

由于各側(cè)面與底面成的角相等,∴頂點(diǎn)在底面上的射影是三角形的內(nèi)心,且各側(cè)面上的高相等,∴h=rtg60°=·,h側(cè).故S側(cè)(7+6)× (平方單位),V=·acsinBh=××× (立方單位).

試題詳情

513.  如圖,四棱錐的高為h,底面為菱形,側(cè)面VDA和側(cè)面VDC所成的二面角為120°,且都垂直于底面,另兩個(gè)側(cè)面與底面所成的角都是45°,求此棱錐的全面積.

解析:由面面垂直的性質(zhì)可證得VD⊥底面,因?yàn)镾ΔVDA=SΔVDC,∠ADC=120°,DB是其平分線,而SΔVBC=SΔVAB,所以全面積不難求得.

解  由已知條件可得VD⊥底面ABCD,VD⊥DA,VD⊥DC,

∴∠ADC=120°.

∵ABCD為菱形,

∴BD是∠ADC的平分線.

ΔADB和ΔDBC是全等的等邊三角形,取BC的中點(diǎn)E,

連DE,BC⊥DE,BC⊥VE,∴∠VED=45°.

在直角ΔDEC中,EC=DE·ctg60°=h,BC=h,VE=h.

∴S=BC·DE=h·h=h2,

SΔVBC=SΔVAB·h=h2,

SΔVAD=SΔVDCh=h2.

∴Sh2+h2+h2

  =(2+)h2

評(píng)析:本題的關(guān)鍵是側(cè)面VDA和側(cè)面VDC都垂直于底面,則它們的交線VD⊥底面ABCD,從而∠ADC=120°.

試題詳情


同步練習(xí)冊(cè)答案