582. 如圖，在正方體ABCD--A₁B₁C₁D₁中，E、F分別是B₁D₁，A₁B的中點，求證：EF∥AD₁。

解析：要證兩條直線平行一是證這兩條直線在同一平面內(nèi)，再用平面幾何知識證明它們平行；二是用平行公理即平行直線的傳遞性，找到與它們都平行的“公共”直線。

這里E為D₁B₁的中點，易想到用構(gòu)造三角形的中位線的方法直接證明平行。因此，連AB₁是非常重要的步驟。

證明：連AB₁，則AB₁過A_­1B的中點F。

　　 又E為D₁B₁的中點，

　　 ∴EF為△AD₁B₁的中位線，

　　 則EF∥AD₁

581. 已知空間四邊形ABCD中，E、H分別是AB、AD的中點。(1)如圖(甲)中，F(xiàn)、G分別是BC、CD的中點，求證：四邊形EFGH是平行四邊形；(2)如圖(乙)中，若F是BC上的點，G是DC上的點，且，求證：四邊形EFGH是梯形，并且直線EF、GH、AC共點。

證明：(1)如圖(甲)，連結(jié)BD。

　　　 ∵EH是的△ABD中位線，

　　　 ∴EHBD，同理FGBD

　　　 根據(jù)公理4，EHFG

　　　 ∴四邊形EFGH是平行四邊形。

(2)如圖(乙)由(1)知EHBD，又在△ABD中，

　　 ∴FG∥BD，F(xiàn)G=BD

　　 由公理4，∴EH∥FG，又FG>EH。

　　 ∴四邊形EFGH是梯形。

　　 則直線EF、GH相交，設(shè)EF∩GH=P

　　 則P∈EF，又EF平面ABC

　　 ∴P∈平面ABC，同理P∈平面ADC。

　　 又平面ABC∩平面ADC=AC

　　 由公理2，得P∈AC，

　　 即EF、GH、AC三條直線共點。

點評：證明四邊形是平行四邊形或者梯形，首先必須證明它是平面圖形，本題中的EH∥FG是關(guān)鍵

580. 求證：空間四邊形的兩條對角線是異面直線。

證明：如圖，假設(shè)空間四邊形ABCD的對角線AC與BD不是異面直線。

則AC、BD共面于α，則A、B、C、D均在平面α內(nèi)，這與已知“ABCD是空間四邊形(四個頂點不在同一平面內(nèi))”相矛盾。

故假設(shè)錯誤，因此AC、BD是異面直線。

點評：反證法是間接證法的一種，在立體幾何的證中經(jīng)

常用到。

579. 如圖，在正方體ABCD--A₁B₁C₁D­₁中，E、F分別是AA₁、AB的中點，試判斷下列各對線段所在直線的位置關(guān)系：

　　 (1)AB與CC₁；(2)A₁B₁與DC；

(3)A₁C與D₁B；(4)DC與BD₁；

(5)D₁E與CF

解析：(1)∵C∈平面ABCD，AB平面ABCD

　　　　 又CAB，C₁平面ABCD

　　　　 ∴AB與CC₁異面

(2)∵A₁B₁∥AB，AB∥DC，∴A₁B₁∥DC

(3)∵A₁D₁∥B₁C₁，B₁C₁∥BC，∴A₁D₁∥BC

　　 則A₁、B、C、D₁在同一平面內(nèi)

　　 ∴A₁C與D₁B相交

(4)∵B∈平面ABCD，DC平面ABCD

　　 又BDC，D₁平面ABCD

　　 ∴DC與BD₁異面

(5)如圖，CF與DA的延長線交于G，連結(jié)D₁G，

　　 ∵AF∥DC，F(xiàn)為AB中點，

　　 ∴A為DG的中點，又AE∥DD₁，

　　 ∴GD₁過AA₁的中點E，

　　 ∴直線D₁E與DF相交

578. 正方體ABCDA₁B₁C₁D₁中，若E、M、N分別是棱AB、BC及B₁D₁的中點，求異面直線DN與MC₁所成的角。

解析：連NG、EM、EN、DE

∵ EMAC，NC₁AC

∴ NC₁EM

∴ NE∥MC₁

∴ ∠DNE為異面直線DN與MC₁所成的角

設(shè)AB=a，則DE=EN=GM=，DN=

△　　　　　　　 DNE中，cos∠DNE=

∴ 異面直線DN與MC₁所成的角為arccos.

577. 長方體ABCD-A’B’C’D’中，AB=2，BC=BB’=1，M、N分別是AD和BC中點，求異面直線MN和BC’所成角的大小

解析：∵MN∥AC，AC∥A’C’，∴MN∥A’C’

∴ ∠BC’A’就是MN與BC’所成的角

△　　　　　　　 BA’C中，BC’=，BA’=A’C’=

∴ cos∠BC’A’=

576. M、N分別是空間四邊形ABCD中AB、CD中點，求證：MN<(AD+BC)。

證明：取AC中點P，則MP=BC，NP=AD

∴ MN<MP+NP=(BC+AD)

575. 長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=a，BC=b，AA₁=c，求異面直線BD₁和B₁C所成角的余弦值。

解析：顯然，通過平移在長方體的表面及內(nèi)部不可能構(gòu)造出一個BD₁和B₁C所成的角，但同時又為了使構(gòu)造出的角便于計算，故可考慮補上一個與已知長方體相同的長方體DCEF-D₁C₁E₁F₁。具體作法是：延長A₁D₁，使A₁D₁=D₁F₁，延長B₁C₁至E₁，使B₁C₁=C₁E₁，連E₁F₁，分別過E₁、F₁，作E₁EC₁C，F(xiàn)₁FD₁D，連EF，則長方體C₁D₁F₁E-CDFE為所作長方體。

∵ BCD₁F₁

∴ BD₁CF₁

∴ ∠B₁CF₁就是異面直線BD₁與B₁C所成的角。

∵ BD²=a²+b²

∴ Rt△BDD₁中，BD₁²=BD²+DD₁²=a²+b²+c²

∴ CF₁²=BD₁²=a²+b²+c²

∵ B₁C²=b²+c²，B₁F₁²=a²+4b²

∴ △B₁CF₁中

　 cos∠B₁CF₁=

(1)　　　　　 當c>b時， cos∠B₁CF₁>0

　∴ ∠B₁CF₁為銳角，∠B₁CF₁就是異面直線BD₁和B₁C所成的角

(2)　　　　　 當c<b時，cos∠B₁CF₁<0

∴ ∠B₁CF₁是鈍角

∴ π-∠B₁CF₁就是異面直線BD₁和B₁C所成的角

(3)　　　　　 當c=b時，∠B₁CF₁=90⁰

∴ BD₁⊥B₁C

法二：作異面直線所成角的過程，其實就是平移異面直線的過程。借助于三角形中位線的平行性，也可以達到平移的目的。

如圖，分別取BC、BB₁、B₁D₁的中點P、M、Q，連PM、MQ、PQ

則 MP∥B₁C，MQ∥BD₁

∴ ∠PMQ(或其補角)就是異面直線BD₁與B₁C所成的角

△　　　　　　　 PMQ中，MP=B₁C=

△　　　　　　　 MQBD₁=，PQ=

利用余弦定理可以得到與解法一同樣的結(jié)果

574. 空間四邊形DABC中，P、Q為邊CD上兩個不同的點，M、N為AB上兩個不同的點，連PM、QN，如圖，問圖中共有多少對異面直線？

解析：為使計算異面直線條數(shù)的過程中不出現(xiàn)重、漏的現(xiàn)象，可采用逐步添加的方法。首先考慮空間四邊形DABC的四條邊DA、AB、BC、CD連同對角線AC、BD，這六條線段可形成三對異面直線DA與BC，AB與CD，AC與BD。

其次添加線段PM，則除去與PM相交的CD、AB，又可新形成4對異面直線，即PM與DA、BC、AC、BD。

因QN與PM位置等同，當添上QN時，也同樣新增4對異面直線。

最后注意到，PM與QN也是異面直線。

∴ 圖中共有3+4+4+1=12(對)異面直線

573. 四棱錐V-ABCD底面是邊長為4的菱形，∠BAD=120⁰，VA⊥底面ABCD，VA=3，AC與BD交于O，(1)求點V到CD的距離；(2)求點V到BD的距離；(3)作OF⊥VC，垂足為F，證明OF是BD與VC的公垂線段；(4)求異面直線BD與VC間的距離。

解析：用三垂線定理作點到線的垂線

在平面ABCD內(nèi)作AE⊥CD，E為垂足

∵ VA⊥平面ABCD

∴ AE為VE在平面ABCD上的射影

∴ VE⊥CD

∴ 線段VE長為點V到直線CD的距離

∵ ∠BAD=120⁰

∴ ∠ADC=60⁰

∴ △ACD為正三角形

∴ E為CD中點，AE=

∴ VE=

　 (2)∵ AO⊥BD

∴ 由三垂線定理VO⊥BD

∴ VO長度為V到直線BD距離

　 VO=

　 (3)只需證OF⊥BD

　　 ∵ BD⊥HC，BD⊥VA

　　 ∴ BD⊥平面VAC

　　 ∴ BD⊥OF

　　 ∴ OF為異面直線BD與VC的公垂線

　 (4)求出OF長度即可

在Rt△VAC中

OC=AC=2，VC=

∴ OF=OC·sin∠ACF=OC·