4．設(shè)函數(shù)f（x）=xⁿ-lnx-1（n∈N^*，n≥2）．
（1）若n=2，求函數(shù)f（x）的極值；
（2）求證：①函數(shù)f（x）存在兩個(gè)零點(diǎn)x₁，x₂；
②x₁x₂＞e${\;}^{\frac{2}{n}-2}$（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．）

3．已知函數(shù)f（x）=ln（x+1），g（x）=-x²-ax．
（1）若a=-2，設(shè)函數(shù)F（x）=$\left\{\begin{array}{l}{g（x），x≤0}\\{f（x），x＞0}\end{array}\right.$，若|F（x）|≥mx恒成立，求m的取值
（2）若函數(shù)G（x）=xf（x-1）+ag（x）+a²x有兩個(gè)極值點(diǎn)，x₁，x₂（x₁＜x₂），求證：G（x₁）＜0，G（x₂）＞-$\frac{1}{2}$．

2．已知橢圓C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸上，且長(zhǎng)軸的長(zhǎng)為4，離心率等于$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若橢圓C在第一象限的-點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為1，過點(diǎn)P作傾斜角互補(bǔ)的兩條不同的直線PA，PB分別交橢圓C于另外兩點(diǎn)A，B．求證：直線AB的斜率為定值．

1．已知函數(shù)f（x）=aln$\frac{1}{x}$+x（a≠0）．
（1）若a=1，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間與極值；
（2）在區(qū)間[1，e]上是否存在在一點(diǎn)x₀，使得f（x₀）＜0成立，若存在求出實(shí)數(shù)a的取值范圍，若不存在說明理由．

20．設(shè)曲線C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=1+cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)），若以原點(diǎn)為極點(diǎn)，以x軸的正半軸為極軸建立直角坐標(biāo)系，則曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=2cosθ．

19．已知函數(shù)f（x）=lnx-2x．
（1）求函數(shù)f（x）的最大值；
（2）若a＞0時(shí)，不等式f（x）≥-ax²+ax-2在x∈[$\frac{1}{e}$，1]（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)e≈2.71828）上恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

18．已知函數(shù)f（x）=lnx+ax，g（x）=f（x）-ax+$\frac{a}{x-1}$．
（1）若函數(shù)y=f（x）在x=1處取得極值，求實(shí)數(shù)a的值；
（2）若函數(shù)y=g（x）在（0，$\frac{1}{e}$）內(nèi)有極值，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（3）在（2）的條件下，對(duì)任意t∈（1，+∞），s∈（0，1）．求證：g（t）-g（s）＞e-$\frac{1}{e}$+2．

17．若函數(shù)f（x）=$\frac{{x}^{3}}{3}$-$\frac{a}{2}$x²+x+1在區(qū)間（$\frac{1}{3}$，4）上有極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（2，$\frac{17}{4}$）．

16．已知函數(shù)f（x）=1nx，g（x）=e^x．求函數(shù)F（x）=f（x）-g（x-1）的極值．

15．如圖，橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率是$\frac{\sqrt{3}}{2}$，過點(diǎn)P（1，0）的動(dòng)直線l與橢圓相交于A，B兩點(diǎn)，當(dāng)直線l平行于y軸時(shí)，直線l被橢圓C截得的線段長(zhǎng)為2$\sqrt{2}$．
（1）求橢圓C的方程；
（2）已知D為橢圓的左端點(diǎn)，問：是否存在直線l使得△ABD的面積為$\frac{10\sqrt{2}}{3}$？若不存在，說明理由，若存在，求出直線l的方程．