⑴、設(shè)集合，，則

A．　　　　　　　　　　　　 B．

C．　　　　　　　　　　　　 D．

⑵、已知函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，則

A．　　　　　　　　　 B．

C．　　　　　　　　　 D．

⑶、雙曲線的虛軸長(zhǎng)是實(shí)軸長(zhǎng)的2倍，則

A．　　　　　　　 B．　　　　　　 C．　　　　　 D．

⑷、如果復(fù)數(shù)是實(shí)數(shù)，則實(shí)數(shù)

A．　　　　　　　 B．　　　　　 C．　　　　　　 D．

⑸、函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為

A．　　　　　　 B．

C．　　　　　　 D．

⑹、的內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，若a、b、c成等比數(shù)列，且，則

A．　　　　　　　 B．　　　　　 C．　　　　　　 D．

⑺、已知各頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上的正四棱柱高為4，體積為16，則這個(gè)球的表面積是

A．　　　　　　 B．　　　　 C．　　　　　　 D．

⑻、拋物線上的點(diǎn)到直線距離的最小值是

A．　　　　　　　 B．　　　　　 C．　　　　　　　 D．

⑼、設(shè)平面向量、、的和。如果向量、、，滿(mǎn)足，且順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后與同向，其中，則

A．　　　　　　　　　　 B．

C．　　　　　　　　　　　 D．

⑽、設(shè)是公差為正數(shù)的等差數(shù)列，若，，則

A．　　　　　　　 B．　　　　　 C．　　　　　　 D．

⑾、用長(zhǎng)度分別為2、3、4、5、6(單位：)的5根細(xì)木棒圍成一個(gè)三角形(允許連接，但不允許折斷)，能夠得到的三角形的最大面積為

A．　　　 B．　　　　　 C．　　　　　 D．

⑿、設(shè)集合。選擇I的兩個(gè)非空子集A和B，要使B中最小的數(shù)大于A中最大的數(shù)，則不同的選擇方法共有

A．　　　　 B．　　　　　　　 C．　　　　　　 D．

普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試

理科數(shù)學(xué)

第Ⅱ卷

22、解：

(1)　　　 將條件變?yōu)椋?－＝，因此{(lán)1－}為一個(gè)等比數(shù)列，其首項(xiàng)為

1－＝，公比，從而1－＝，據(jù)此得a_n＝(n³1)…………1°

(2)　　　 證：據(jù)1°得，a₁·a₂·…a_n＝

為證a₁·a₂·……a_n<2·n！

只要證nÎN^*時(shí)有>…………2°

顯然，左端每個(gè)因式都是正數(shù)，先證明，對(duì)每個(gè)nÎN^*，有

³1－()…………3°

用數(shù)學(xué)歸納法證明3°式：

(i)　　　　　　　　　　 n＝1時(shí)，3°式顯然成立，

(ii)　　　　　　　　　 設(shè)n＝k時(shí)，3°式成立，

即³1－()

則當(dāng)n＝k+1時(shí)，

³(1－())·()

＝1－()－+()

³1－(+)即當(dāng)n＝k+1時(shí)，3°式也成立。

故對(duì)一切nÎN^*，3°式都成立。

利用3°得，³1－()＝1－

＝1－>

故2°式成立，從而結(jié)論成立。

b²(x₁－x₂)2x+a²(y₁－y₂)2y＝0

\b²x²+a²y²－b²cx＝0…………(3)

2°當(dāng)AB垂直于x軸時(shí)，點(diǎn)P即為點(diǎn)F，滿(mǎn)足方程(3)

故所求點(diǎn)P的軌跡方程為：b²x²+a²y²－b²cx＝0

(2)因?yàn)�，橢圓　 Q右準(zhǔn)線l方程是x＝，原點(diǎn)距l

的距離為，由于c²＝a²－b²，a²＝1+cosq+sinq，b²＝sinq(0<q£)

則＝＝2sin(+)

當(dāng)q＝時(shí)，上式達(dá)到最大值。此時(shí)a²＝2，b²＝1，c＝1，D(2，0)，|DF|＝1

設(shè)橢圓Q：上的點(diǎn) A(x₁，y₁)、B(x₂，y₂)，三角形ABD的面積

S＝|y₁|+|y₂|＝|y₁－y₂|

設(shè)直線m的方程為x＝ky+1，代入中，得(2+k²)y²+2ky－1＝0

由韋達(dá)定理得y₁+y₂＝，y₁y₂＝，

4S²＝(y₁－y₂)²＝(y₁+y₂)²－4 y₁y₂＝

令t＝k²+1³1，得4S²＝，當(dāng)t＝1，k＝0時(shí)取等號(hào)。

因此，當(dāng)直線m繞點(diǎn)F轉(zhuǎn)到垂直x軸位置時(shí)，三角形ABD的面積最大。

22、(本大題滿(mǎn)分14分)

已知數(shù)列{a_n}滿(mǎn)足：a₁＝，且a_n＝

(3)　　　 求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；

(4)　　　 證明：對(duì)于一切正整數(shù)n，不等式a₁·a₂·……a_n<2·n！

21、解：如圖，(1)設(shè)橢圓Q：(a>b>0)

上的點(diǎn)A(x₁，y₁)、B(x₂，y₂)，又設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為P(x，y)，則

1°當(dāng)AB不垂直x軸時(shí)，x₁¹x₂，

21、(本大題滿(mǎn)分12分)

如圖，橢圓Q：(a>b>0)的右焦點(diǎn)F(c，0)，過(guò)點(diǎn)F的一動(dòng)直線m繞點(diǎn)F轉(zhuǎn)動(dòng)，并且交橢圓于A、B兩點(diǎn)，P是線段AB的中點(diǎn)

(3)　　　 求點(diǎn)P的軌跡H的方程

(4)　　　 在Q的方程中，令a²＝1+cosq+sinq，b²＝sinq(0<q£ )，確定q的值，使原點(diǎn)距橢圓的右準(zhǔn)線l最遠(yuǎn)，此時(shí)，設(shè)l與x軸交點(diǎn)為D，當(dāng)直線m繞點(diǎn)F轉(zhuǎn)動(dòng)到什么位置時(shí)，三角形ABD的面積最大？

20、解法一：

(1)　　　 方法一：作AH^面BCD于H，連DH。

AB^BDÞHB^BD，又AD＝，BD＝1

\AB＝＝BC＝AC　 \BD^DC

又BD＝CD，則BHCD是正方形，則DH^BC\AD^BC

方法二：取BC的中點(diǎn)O，連AO、DO

則有AO^BC，DO^BC，\BC^面AOD

\BC^AD

(2)　　　 作BM^AC于M，作MN^AC交AD于N，則ÐBMN就是二面角B－AC－D的平面角，因?yàn)锳B＝AC＝BC＝\M是AC的中點(diǎn)，且MN¤¤CD，則BM＝，MN＝CD＝，BN＝AD＝，由余弦定理可求得cosÐBMN＝

\ÐBMN＝arccos

(3)　　　 設(shè)E是所求的點(diǎn)，作EF^CH于F，連FD。則EF¤¤AH，\EF^面BCD，ÐEDF就是ED與面BCD所成的角，則ÐEDF＝30°。設(shè)EF＝x，易得AH＝HC＝1，則CF＝x，F(xiàn)D＝，\tanÐEDF＝＝＝解得x＝，則CE＝x＝1

故線段AC上存在E點(diǎn)，且CE＝1時(shí)，ED與面BCD成30°角。

解法二：此題也可用空間向量求解，解答略

20、(本小題滿(mǎn)分12分)

如圖，在三棱錐A－BCD中，側(cè)面ABD、ACD

是全等的直角三角形，AD是公共的斜邊，

且AD＝，BD＝CD＝1，另一個(gè)側(cè)面是正三角形

(4)　　　 求證：AD^BC

(5)　　　 求二面角B－AC－D的大小

(6)　　　 在直線AC上是否存在一點(diǎn)E，使ED與面BCD

成30°角？若存在，確定E的位置；若不存在，說(shuō)明理由。

19、解：

(1)　　　 因?yàn)镚是邊長(zhǎng)為1的正三角形ABC的中心，

所以　 AG＝，ÐMAG＝，

由正弦定理

得

則S₁＝GM·GA·sina＝

同理可求得S₂＝

(2)　　　 y＝＝

＝72(3+cot²a)因?yàn)?sub>，所以當(dāng)a＝或a＝時(shí)，y取得最大值y_max＝240

當(dāng)a＝時(shí)，y取得最小值y_min＝216

19、(本小題滿(mǎn)分12分)

如圖，已知△ABC是邊長(zhǎng)為1的正三角形，M、N分別是

邊AB、AC上的點(diǎn)，線段MN經(jīng)過(guò)△ABC的中心G，

設(shè)ÐMGA＝a()

(3)　　　 試將△AGM、△AGN的面積(分別記為S₁與S₂)

表示為a的函數(shù)

(4)　　　 求y＝的最大值與最小值

18、解：(1)x的所有可能的取值為0，10，20，50，60

分布列為

x	0	10	20	50	60
P

(2)Ex＝3.3