10．設(shè)函數(shù)，則＝____．

9．下列函數(shù)中，與函數(shù)相同的函數(shù)是(　 )

8．給定映射，點(diǎn)的原象是_______

7．已知集合，映射，在作用下點(diǎn)的象是，則集合 (　 )

6．(1)，，；

(2)，，；

(3)，，．

上述三個(gè)對(duì)應(yīng)_____是到的映射．

4．與函數(shù)y=的圖象相同的函數(shù)是 (　 )

Ay=2x-1(x>1/2)　 By=1/(2x-1)　　 Cy=1/(2x-1)(x>1/2)　 Dy=1/|2x-1|

5設(shè)函數(shù)f(x)=ax³+bx²+cx+d的圖象如圖所示，

則f(－1)+f(1)(　 )

A大于0　 　　　　B小于0　

C等于0　　 　　　　D以上結(jié)論都不對(duì)

3．已知集合A={1,2,3,4},B={-1,1,2},

(1)集合A到B的映射共有多少個(gè)？

(2)若集合B中的每一個(gè)元素都有原象，這樣的映射共有多少個(gè)？

(3)若集合B中元素2必須要有原象，這樣的映射共有多少個(gè)？

2．設(shè)集合A={-1，0，1}，B={2，3，4，5，6}，映射A®B，使對(duì)任意xÎA,都有x+f(x)+xf(x)是奇數(shù)，則這樣的映射f 的個(gè)數(shù)是　　　　　　

1．設(shè)f：A®B是從A到B的一個(gè)映射，其中A=B={(x,y)|xÎR,yÎR},f：(x,y)®(x+y,xy),則A中(1,-2)的象是　　 　　，B中(1,-2)的原象是　　

6．復(fù)合函數(shù)：若y=f(u),u=g(x),xÎ(a,b),uÎ(m,n),那么y=f[g(x)]稱為復(fù)合函數(shù)，u稱為中間變量，它的取值范圍是g(x)的值域

題型講解

例1設(shè)集合，，如果從到的映射滿足條件：對(duì)中的每個(gè)元素與它在中的象的和都為奇數(shù)，則映射的個(gè)數(shù)是( 　)

A8個(gè)　　 B12個(gè)　 　　　C16個(gè)　 　D18個(gè)

解：∵為奇數(shù)，∴當(dāng)為奇數(shù)、時(shí)，它們?cè)?sub>中的象只能為偶數(shù)、或，由分步計(jì)數(shù)原理和對(duì)應(yīng)方法有種；而當(dāng)時(shí)，它在中的象為奇數(shù)或，共有種對(duì)應(yīng)方法．故映射的個(gè)數(shù)是．故選D

例2 集合A={3，4}，B={5，6，7}，那么可建立從A到B的映射個(gè)數(shù)是__________，從B到A的映射個(gè)數(shù)是__________

解：從A到B可分兩步進(jìn)行：第一步A中的元素3可有3種對(duì)應(yīng)方法(可對(duì)應(yīng)5或6或7)，第二步A中的元素4也有這3種對(duì)應(yīng)方法由乘法原理，不同的映射種數(shù)N₁＝3×3＝9反之從B到A，道理相同，有N₂＝2×2×2＝8種不同映射

答案：9　 8

例3 　A={1，2，3，4，5}，B={6，7，8}從集合A到B的映射中滿足f(1)≤f(2)≤f(3)≤f(4)≤f(5)的映射有(　 )

A27　　　　 B9　　　　 C21　　　 D12

解：(1)當(dāng)全是等號(hào)時(shí)，(即與B中的一個(gè)元素對(duì)應(yīng))，則f有C個(gè);

　 (2)有一個(gè)不等號(hào)時(shí)的映射(即與B中的兩個(gè)元素對(duì)應(yīng))，f有C·C=12個(gè);

　 (3)有二個(gè)不等號(hào)的映射，f有C·C=6個(gè)

所以共有3+12+6=21個(gè)，答案選C

另一種解釋法：將元素1，2，3，4，5按照從小到大的順序串成一串之間有4個(gè)節(jié)點(diǎn)

若只有一個(gè)象就讓這一串整體對(duì)應(yīng)有C＝3種方法；

若恰有兩個(gè)象就將這一串分為兩段，并按照大小順序?qū)��?yīng)，有C·C＝12種方法；

若恰有三個(gè)象就將這一串分為三段，并按照大小順序?qū)��?yīng)，有C·C＝6種方法

根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理，共有3+12+6=21個(gè)映射故選C

例4 試判斷以下各組函數(shù)是否表示同一函數(shù)？

(1)f(x)=，g(x)=；

(2)f(x)=，g(x)=

(3)f(x)=，g(x)=()^2n－1(n∈N^*)；

(4)f(x)=，g(x)=；

(5)f(x)=x²－2x－1，g(t)=t²－2t－1

剖析：對(duì)于兩個(gè)函數(shù)y=f(x)和y=g(x)，當(dāng)且僅當(dāng)它們的定義域、值域、對(duì)應(yīng)法則都相同時(shí)，y=f(x)和y=g(x)才表示同一函數(shù)若兩個(gè)函數(shù)表示同一函數(shù)，則它們的圖象完全相同，反之亦然

解：(1)由于f(x)==|x|，g(x)==x，故它們的值域及對(duì)應(yīng)法則都不相同，所以它們不是同一函數(shù)

(2)由于函數(shù)f(x)=的定義域?yàn)?－∞，0)∪(0，+∞)，而g(x)=的定義域?yàn)镽，所以它們不是同一函數(shù)

(3)由于當(dāng)n∈N^*時(shí)，2n±1為奇數(shù)，∴f(x)==x，g(x)=()^2n－1=x，它們的定義域、值域及對(duì)應(yīng)法則都相同，所以它們是同一函數(shù)

(4)由于函數(shù)f(x)=的定義域?yàn)閧x|x≥0}，而g(x)=的定義域?yàn)閧x|x≤－1或x≥0}，它們的定義域不同，所以它們不是同一函數(shù)

(5)函數(shù)的定義域、值域和對(duì)應(yīng)法則都相同，所以它們是同一函數(shù)

評(píng)述：(1)第(5)小題易錯(cuò)判斷成它們是不同的函數(shù)，原因是對(duì)函數(shù)的概念理解不透要知道，在函數(shù)的定義域及對(duì)應(yīng)法則f不變的條件下，自變量變換字母，以至變換成其他字母的表達(dá)式，這對(duì)于函數(shù)本身并無(wú)影響，比如f(x)=x²+1，f(t)=t²+1，f(u+1)=(u+1)²+1都可視為同一函數(shù)

(2)對(duì)于兩個(gè)函數(shù)來(lái)講，只要函數(shù)的三要素中有一要素不相同，則這兩個(gè)函數(shù)就不可能是同一函數(shù)

例5　某種細(xì)胞分裂時(shí)，由1個(gè)分裂成2個(gè)，2個(gè)分裂成4個(gè)，…，一直分裂下去．

(1) 用列表表示，1個(gè)細(xì)胞分裂1、2、3、4、5、6、7、8次后，得到的細(xì)胞個(gè)數(shù)；

(2)用圖像表示1個(gè)細(xì)胞分裂的次數(shù)n(nÎN₊)與得到的細(xì)胞個(gè)數(shù)y之間的關(guān)系；

解：(1) 利用正整指數(shù)冪的運(yùn)算法則，可以算出1個(gè)細(xì)胞分裂1、2、3、4、5、6、7、8次后，得到的細(xì)胞個(gè)數(shù)，列表如下

(2)細(xì)胞個(gè)數(shù)y與分裂次數(shù)n之間的關(guān)系式是

y＝2ⁿ，nÎN₊．

　　 變式：

一種專門占據(jù)內(nèi)存的計(jì)算機(jī)病毒，開(kāi)機(jī)時(shí)占據(jù)內(nèi)存KB，然后每分鐘自身復(fù)制一次，復(fù)制后所占內(nèi)存是原來(lái)的倍，那么開(kāi)機(jī)后經(jīng)過(guò) ______ 分鐘，該病毒占據(jù)MB內(nèi)存(MB=KB)

例6試構(gòu)造一個(gè)函數(shù)，使得對(duì)一切有恒成立，但是既不是奇函數(shù)又不是偶函數(shù)，則可以是　　　　 　

解：的圖像部分關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，部分關(guān)于軸對(duì)稱，如

．

點(diǎn)評(píng)　本題是一道開(kāi)放題，你能給出其它的答案嗎？請(qǐng)不妨一試．

例7　某廠生產(chǎn)一種儀器，由于受生產(chǎn)能力和技術(shù)水平的限制，會(huì)產(chǎn)生一些次品．根據(jù)經(jīng)驗(yàn)知道，該廠生產(chǎn)這種儀器，次品率與日產(chǎn)量(件)之間大體滿足關(guān)系：

　(其中c為小于96的正常數(shù))

注：次品率，如表示每生產(chǎn)10件產(chǎn)品，約有1件為次品．其余為合格品．

已知每生產(chǎn)一件合格的儀器可以盈利A元，但每生產(chǎn)一件次品將虧損元，故廠方希望定出合適的日產(chǎn)量．

(1)試將生產(chǎn)這種儀器每天的盈利額(元)表示為日產(chǎn)量(件)的函數(shù)；

(2)當(dāng)日產(chǎn)量為多少時(shí)，可獲得最大利潤(rùn)？

解：(1)當(dāng)時(shí)，，所以，每天的盈利額;

　　 當(dāng)時(shí)，，

所以，每日生產(chǎn)的合格儀器約有件，次品約有件．故，每天的盈利額

　　 綜上，日盈利額(元)與日產(chǎn)量(件)的函數(shù)關(guān)系為：

　　 (2)由(1)知，當(dāng)時(shí)，每天的盈利額為0．

　　 當(dāng)時(shí)，．

令，則．

故

．

當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立．

所以(i)當(dāng)時(shí)，(等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立)．

　　 (ii) 當(dāng)時(shí)，由得，

易證函數(shù)在上單調(diào)遞增(證明過(guò)程略)．

　　 所以，．

所以，

，

即．(等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得)

綜上，若，則當(dāng)日產(chǎn)量為88件時(shí)，可獲得最大利潤(rùn)；若，則當(dāng)日產(chǎn)量為時(shí)，可獲得最大利潤(rùn)．　　 　點(diǎn)評(píng)　分段函數(shù)是歷年高考的熱門話題，�？汲Ｐ�，值得我們?cè)趶?fù)課時(shí)認(rèn)真對(duì)待．

例8 矩形的長(zhǎng)，寬，動(dòng)點(diǎn)、分別在、上，且，(1)將的面積表示為的函數(shù)，求函數(shù)的解析式；

(2)求的最大值．

解：(1)

．

∵，∴，

∴函數(shù)的解析式：；

(2)∵在上單調(diào)遞增，

∴，即的最大值為．

例9 函數(shù)對(duì)一切實(shí)數(shù)，均有成立，且，

(1)求的值；

(2)對(duì)任意的，，都有成立時(shí)，求的取值范圍．

解：(1)由已知等式，

令，得，

又∵，∴．

(2)由，

令得，

由(1)知，∴．

∵，

∴在上單調(diào)遞增，

∴．

要使任意，都有成立，

當(dāng)時(shí)，,顯然不成立．

當(dāng)時(shí)，，∴，解得

∴的取值范圍是．

學(xué)生練習(xí)

題組一：

1設(shè)集合A=R，集合B=正實(shí)數(shù)集，則從集合A到集合B的映射f只可能是

Af:x→y=|x|　　 Bf:x→y=　Cf:x→y=3^－x Df:x→y=log₂(1+|x|)

解析：指數(shù)函數(shù)的定義域是R，值域是(0，+∞)，所以f是x→y=3^－x

答案：C

2設(shè)M={x|－2≤x≤2}，N={y|0≤y≤2}，函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?i>M，值域?yàn)?i>N，則f(x)的圖象可以是

解析：A項(xiàng)定義域?yàn)椋郏?，0］，D項(xiàng)值域不是［0，2］，C項(xiàng)對(duì)任一x都有兩個(gè)y與之對(duì)應(yīng)，都不符故選B　答案：B

3已知函數(shù)f(x)=lg，若f(a)=b，則f(－a)等于

Ab　　　 　　　 B－b　　 　　　　　　 C　　 　　　　 D－

解析：f(－a)=lg=－lg=－f(a)=－b　答案： B

4函數(shù)y=的定義域是

A［－，－1)∪(1，］　　　 B(－，－1)∪(1，)

C［－2，－1)∪(1，2］　　　　　　　 D(－2，－1)∪(1，2)

解析：－≤x＜－1或1＜x≤

∴y=的定義域?yàn)椋郏?sub>，－1)∪(1，］答案：A

5若函數(shù)f(x)=log_a(x+1)(a＞0，a≠1)的定義域和值域都是［0，1］，則a等于

A 　　　　　　　　 B 　　　　　　　 C　　 　　　　　 D2

解析：f(x)=log_a(x+1)的定義域是［0，1］，

∴0≤x≤1，則1≤x+1≤2

當(dāng)a＞1時(shí)，0=log_a1≤log_a(x+1)≤log_a2=1，∴a=2；

當(dāng)0＜a＜1時(shí)，log_a2≤log_a(x+1)≤log_a1=0，與值域是［0，1］矛盾

綜上，a=2　答案：D

6設(shè)集合A和B都是自然數(shù)集合N，映射f：A→B把集合A中的元素n映射到集合B中的元素2ⁿ+n，則在映射f下，象20的原象是

A2　　　 　　　　　　 B3　　　 　　　 C4　　　 　　　　　　 D5

解析：由2ⁿ+n＝20求n，用代入法可知選C　答案：C

7某種型號(hào)的手機(jī)自投放市場(chǎng)以來(lái)，經(jīng)過(guò)兩次降價(jià)，單價(jià)由原來(lái)的2000元降到1280元，則這種手機(jī)平均每次降價(jià)的百分率是

A10%　　　　　　　　　 B15%　　　　　　　　　 C18%　　　　　　 D20%

解析：設(shè)降價(jià)百分率為x%，

∴2000(1－x%)²=1280解得x=20　答案：D

8設(shè)函數(shù)f(x)=則使得f(x)≥1的自變量x的取值范圍為

A(－∞，－2］∪［0，10］　　　　　 B(－∞，－2］∪［0，1］

C(－∞，－2］∪［1，10］　　　　　 D［－2，0］∪［1，10］

解析：f(x)是分段函數(shù)，故f(x)≥1應(yīng)分段求解

當(dāng)x＜1時(shí)，f(x)≥1(x+1)²≥1x≤－2或x≥0，

∴x≤－2或0≤x＜1

當(dāng)x≥1時(shí)，f(x)≥14－≥1≤3x≤10，

∴1≤x≤10

綜上所述，x≤－2或0≤x≤10　答案：A

9已知f(x)=則不等式xf(x)+x≤2的解集是________

解析：x≥0時(shí)，f(x)=1，xf(x)+x≤2x≤1，∴0≤x≤1；

當(dāng)x＜0時(shí)，f(x)=0，xf(x)+x≤2x≤2，∴x＜0綜上x≤1

答案：{x|x≤1}

10已知函數(shù)y=logx與y=kx的圖象有公共點(diǎn)A，且A點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2，則k的值等于

A－　　　　　　　　　 B　　　　　　　　　　　 C－　　　　　　　　　 D

解析：由點(diǎn)A在y=logx的圖象上可求出A點(diǎn)縱坐標(biāo)y=log2=－又A(2，－)在y=kx圖象上，－=k·2，∴k=－　答案：A

11如圖，在邊長(zhǎng)為4的正方形ABCD上有一點(diǎn)P，沿著折線BCDA由B點(diǎn)(起點(diǎn))向A點(diǎn)(終點(diǎn))移動(dòng)，設(shè)P點(diǎn)移動(dòng)的路程為x，△ABP的面積為y=f(x)

(1)求△ABP的面積與P移動(dòng)的路程間的函數(shù)關(guān)系式；

(2)作出函數(shù)的圖象，并根據(jù)圖象求y的最大值

解：(1)這個(gè)函數(shù)的定義域?yàn)?0，12)

當(dāng)0＜x≤4時(shí)，S=f(x)=·4·x=2x；

當(dāng)4＜x≤8時(shí)，S=f(x)=8；

當(dāng)8＜x＜12時(shí)，S=f(x)=·4·(12－x)=2(12－x)=24－2x

∴這個(gè)函數(shù)的解析式為

f(x)=　

(2)其圖形如右， 由圖知，［f(x)］_max=8

12若f :y=3x+1是從集合A={1，2，3，k}到集合B={4，7，a⁴，a²+3a}的一個(gè)映射，求自然數(shù)a、k的值及集合A、B

解：∵f(1)=3×1+1=4，f(2)=3×2+1=7，f(3)=3×3+1=10，f(k)=3k+1，由映射的定義知

(1)或(2) 　

∵a∈N，∴方程組(1)無(wú)解

解方程組(2)，得a=2或a=－5(舍)，3k+1=16，3k=15，k=5

∴A={1，2，3，5}，B={4，7，10，16}

13如果函數(shù)f(x)=(x+a)³對(duì)任意x∈R都有f(1+x)=－f(1－x)，試求f(2)+ f(－2)的值

解：∵對(duì)任意x∈R，總有f(1+x)=－f(1－x)，

∴當(dāng)x=0時(shí)應(yīng)有f(1+0)=－f(1－0)，

即f(1)=－f(1)∴f(1)=0

又∵f(x)=(x+a)³，∴f(1)=(1+a)³

故有(1+a)³＝0a=－1∴f(x)=(x－1)³

∴f(2)+f(－2)=(2－1)³+(－2－1)³＝1³+(－3)³＝－26

14集合M={a，b，c}，N={－1，0，1}，映射f:M→N滿足f(a)+f(b)+f(c)=0，那么映射f:M→N的個(gè)數(shù)是多少？

解：∵f(a)∈N，f(b)∈N，f(c)∈N，且f(a)+f(b)+f(c)=0，

∴有0+0+0=0+1+(－1)=0

當(dāng)f(a)=f(b)=f(c)=0時(shí)，只有一個(gè)映射；

當(dāng)f(a)、f(b)、f(c)中恰有一個(gè)為0，而另兩個(gè)分別為1，－1時(shí)，有C·A=6個(gè)映射因此所求的映射的個(gè)數(shù)為1+6=7

題組二：