例3. 甲、乙兩人在環(huán)形跑道上練習(xí)跑步，已知環(huán)形跑道一圈長(zhǎng)400米，乙每秒鐘跑6米，甲的速度是乙的倍�，F(xiàn)在甲、乙兩人在跑道上相距8米處同時(shí)出發(fā)，問經(jīng)過多少秒鐘后兩人首次相遇？

　　 分析：雖然環(huán)行問題可轉(zhuǎn)化為追及問題或相遇問題去解決，但本題既不明確甲、乙兩人在環(huán)形跑道上是同向還是反向跑步，更不知同向跑步時(shí)誰在前誰在后，或反向跑步時(shí)兩人之間的距離是哪一部分，所以解題時(shí)應(yīng)分類討論，逐一求解。

　　 解：設(shè)經(jīng)過x秒甲、乙兩人首次相遇。

　　 (1)若兩人同向跑步，且甲在乙前面8米時(shí)，依題意，得方程：

　　 解得：

　 　(2)若兩人同向跑步，且乙在甲前面8米時(shí)，依題意，得方程：

　　 解得：

　　 (3)若兩人反向跑步，且相距8米時(shí)，依題意，得方程：

　　 解得：

　　 (4)若兩人反向跑步，且相距米時(shí)，依題意，得方程：

　　 解得：

　　 答：當(dāng)甲、乙兩人在環(huán)形跑道上同向跑步時(shí)，經(jīng)過196秒或4秒首次相遇，反向跑步時(shí)，經(jīng)過或28秒首次相遇。

　 例2. 甲、乙兩人分別從相距2.5千米的兩地沿同一條公路同時(shí)同向出發(fā)進(jìn)行騎自行車訓(xùn)練。已知甲、乙兩人的速度分別為12.5千米/時(shí)和15千米/時(shí)，問經(jīng)過幾小時(shí)后兩人相距3千米？

　　 分析：本題屬行程問題中的追及問題，但不明確甲、乙兩人誰在前，誰在后，因而要分兩種情況求解。

　　 解：設(shè)經(jīng)過x小時(shí)后兩個(gè)相距3千米

　　 (1)當(dāng)甲在乙前面時(shí)，依題意，可得方程

　　 解得：

　　 (2)當(dāng)乙在甲前面時(shí)，依題意，可得方程

　　 解得：

　　 答：經(jīng)過2.2小時(shí)或0.2小時(shí)后兩人相距3千米。

　 例1. A、B兩站相距900千米，一列慢車從A站開出，速度為每小時(shí)55千米。同一時(shí)刻一列快車從B站開出，速度為每小時(shí)80千米，兩車相向而行，經(jīng)過多少小時(shí)兩車相距45千米？

　　 分析：題中求“經(jīng)過多少小時(shí)兩車相距45千米？”但沒有指出是相遇前兩車相距45千米，還是相遇后兩車相距45千米，因而情況不明，需分類求解。

　　 解：設(shè)經(jīng)過x小時(shí)兩車相距45千米

　　 (1)當(dāng)相遇前兩車相距45千米時(shí)，依題意，得：

　　 解得：

　　 (2)當(dāng)相遇后兩車又相距45千米時(shí)，依題意，得：

　　 解得：

　　 答：經(jīng)過小時(shí)或7小時(shí)兩車相距45千米。

6. 已知：中，AB=AC，D是BC的中點(diǎn)，DE//AC，DF//AB，DE、DF分別交AB、AC于點(diǎn)E、F，求證：四邊形AEDF是菱形。

5. 在平行四邊形ABCD中，，M、N分別是AD、BC的中點(diǎn)。求證四邊形ANCM是菱形。

4. 求證：過矩形各頂點(diǎn)平行于對(duì)角線的垂線圍成的四邊形是菱形。

3. 求證：順次連結(jié)矩形四邊中點(diǎn)所構(gòu)成的四邊形是菱形。

2. 求證：順次連結(jié)等腰梯形上、下底的中點(diǎn)和兩對(duì)角線的中點(diǎn)所構(gòu)成的四邊形是菱形。

1. 求證：順次連結(jié)等腰梯形各邊中點(diǎn)所構(gòu)成的四邊形是菱形。

4. 對(duì)角線互相垂直平分的四邊形是菱形

　　 例4　 已知：如圖4，中，BAC的平分線交BC于點(diǎn)D，E是AB上一點(diǎn)，且AE=AC，EF//BC交AD于點(diǎn)F。

　 　求證：四邊形CDEF是菱形。

　　 證明：連結(jié)CE交AD于點(diǎn)O

　　 因?yàn)锳C=AE

　　 所以為等腰三角形

　　 因?yàn)锳O平分CAE

　　 所以，且OC=OE

　　 因?yàn)镋F//CD，

　　 所以1=2

　　 所以O(shè)F=OD

　　 于是CE垂直平分DF

　　 所以四邊形CDEF是菱形

　　 總結(jié)以上，得到下表

　　 練習(xí)：