10.如圖,設(shè)三棱錐S-ABC的三個(gè)側(cè)棱與底面ABC所成的角都是60°,∠BAC=60°,且SA⊥BC.
(1)求證:S-ABC為正三棱錐;
(2)已知SA=a,求S-ABC的全面積.
(1)證明:正棱錐的定義中,底面是正多邊形;頂點(diǎn)在底面上的射影是底面的中心,兩個(gè)條件缺一不可.作三棱錐S-ABC的高SO,O為垂足,連結(jié)AO并延長(zhǎng)交BC于D.
因?yàn)?i>SA⊥BC,所以AD⊥BC.
又側(cè)棱與底面所成的角都相等,從而O為△ABC的外心,OD為BC的垂直平分線,
所以AB=AC.
又∠BAC=60°,故△ABC為正三角形,且O為其中心.所以S-ABC為正三棱錐.
(2)解:只要求出正三棱錐S-ABC的側(cè)高SD與底面邊長(zhǎng),則問題易于解決.
在Rt△SAO中,由于SA=a,∠SAO=60°,所以SO=a,AO=a.
因O為重心,所以AD=AO=a,BC=2BD=2ADcot60°=a,OD=AD=a.
在Rt△SOD中,SD2=SO2+OD2=(a)2+(a)2=,則SD=a.
于是,(SS-ABC)全=·(a)2sin60°+3··a·a=a2.
考查棱柱、棱錐的側(cè)面積及體積的計(jì)算方法.要求會(huì)用棱柱、棱錐的側(cè)面積及體積公式求棱柱、棱錐的側(cè)面積及體積,會(huì)運(yùn)用“分解與組合”(即“割補(bǔ)法”)、“等積變形”等方法,使問題化繁為簡(jiǎn),化難為簡(jiǎn),化未知為已知.
求體積常見方法有:①直接法(公式法);②分割法;③補(bǔ)形法.
9.已知E、F分別是棱長(zhǎng)為a的正方體ABCD-A1B1C1D1的棱A1A、CC1的中點(diǎn),求四棱錐C1-B1EDF的體積.
解法一:連結(jié)A1C1、B1D1交于O1,過O1作O1H⊥B1D于H,
∵EF∥A1C1,∴A1C1∥平面B1EDF.
∴C1到平面B1EDF的距離就是A1C1到平面B1EDF的距離.
∵平面B1D1D⊥平面B1EDF,
∴O1H⊥平面B1EDF,即O1H為棱錐的高.
∵△B1O1H∽△B1DD1,∴O1H==a,
V=S·O1H=··EF·B1D·O1H=··a·a·a=a3.
解法二:連結(jié)EF,設(shè)B1到平面C1EF的距離為h1,D到平面C1EF的距離為h2,則h1+h2=B1D1=a,∴V=V+V=·S·(h1+h2)= a3.
解法三:V=V-V-V=a3.
8.長(zhǎng)方體的表面積為32cm2,體積為8 cm2,長(zhǎng)、寬、高成等比數(shù)列,則長(zhǎng)方體所有棱之和為_____ _____.32cm
7.已知正四棱錐的體積為12,底面對(duì)角線的長(zhǎng)為,則側(cè)面與底面所成的二面角等于_______________。
6.兩相同的正四棱錐組成如圖1所示的幾何體,可放棱長(zhǎng)為1的正方體內(nèi),使正四棱錐的底面ABCD與正方體的某一個(gè)平面平行,且各頂點(diǎn)均在正方體的面上,則這樣的幾何體體積的可能值有 ( D )
A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.無窮多個(gè)
5.已知正四面體ABCD的表面積為S,其四個(gè)面的中心分別為E、F、G、H.設(shè)四面體EFGH的表面積為T,則等于 ( A )
A. B. C. D.
4.如圖,在多面體ABCDEF中,已知面ABCD是邊長(zhǎng)為3的正方形,EF∥AB,EF,EF與面AC的距離為2,則該多面體的體積為 ( D )
A. B.5 C.6 D.
3.長(zhǎng)方體的一條對(duì)角線與經(jīng)過它的一端點(diǎn)的一個(gè)平面成30°角,與經(jīng)過這個(gè)端點(diǎn)的另一個(gè)平面成45°角,若這條對(duì)角線長(zhǎng)為2,則這個(gè)長(zhǎng)方體的體積為 ( D )
A. B. C.2 D.
2.棱錐體積為1,過它的高的兩個(gè)三等分點(diǎn)分別作平行于底面的截面,把棱錐截成三部分,則中間部分的體積是 ( C )
A. B. C. D.
1.底面邊長(zhǎng)為,斜高為2的正三棱錐的體積等于 ( A )
A.3 B.9 C.6 D.
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