1. 我國古代臣子寫給君王的呈文有各種不同的名稱, 戰(zhàn)國時(shí)期稱”書”, 到了漢代, 則分為:章,奏,表,議四類.劉勰《文心雕龍·章表篇》說“章以謝恩,奏以按劾,表以陳情,議以執(zhí)異”,可見表雖是一種公文文體,但并不是表達(dá)對(duì)國家大事的意見主張,而只是古代臣子為了向皇帝陳述自己的請求而使用的文體,因此,奏議類的公文是以議論為主,而章表類的公文則是以抒情為主。中國文學(xué)史上有一些著名的以“表”這種文體寫作的文章,歷來收到人們的稱道,如孔融的《薦禰衡表》、曹植的《求自試表》、諸葛亮的《出師表》、李密的《陳情表》。
12.(2010·南通模擬)已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+c在x=-與x=1時(shí)都取得極值,
(1)求a,b的值與函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若對(duì)x∈[-1,2],不等式f(x)<c2恒成立,求c的取值范圍.
解:(1)f(x)=x3+ax2+bx+c,f′(x)=3x2+2ax+b,
由f′(-)=-a+b=0,f′(1)=3+2a+b=0得a=-,b=-2,
f′(x)=3x2-x-2=(3x+2)(x-1),函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間如下表:
x |
(-∞,-) |
- |
(-,1) |
1 |
(1,+∞) |
f′(x) |
+ |
0 |
- |
0 |
+ |
f(x) |
? |
極大值 |
? |
極小值 |
? |
所以函數(shù)f(x)的遞增區(qū)間是(-∞,-)與(1,+∞),遞減區(qū)間(-,1);
(2)f(x)=x3-x2-2x+c,x∈[-1,2],當(dāng)x=-時(shí),f(-)=+c為極大值,而f(2)=2+c,則f(2)=2+c為最大值,要使f(x)<c2,x∈[-1,2]恒成立,則只需要c2>f(2)=2+c,得c<-1,或c>2.
11.設(shè)f′(x)是函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù),將y=f(x)和y=f′(x)的圖象畫在同一個(gè)直角坐標(biāo)系中,不可能正確的是 ( )
解析:對(duì)于圖A來說,拋物線為函數(shù)f(x),直線為f′(x);對(duì)于圖B來說,上凸的曲線為函數(shù)f(x),下凹的曲線為f′(x);對(duì)于圖C來說,下面的曲線為函數(shù)f(x),上面的曲線f′(x).只有圖D不符合題設(shè)條件.
答案:D
10.某公司生產(chǎn)某種產(chǎn)品,固定成本為20 000元,每生產(chǎn)一單位產(chǎn)品,成本增加100
元,已知總營業(yè)收入R與年產(chǎn)量x的關(guān)系是R=R(x)=
,則總利潤最大時(shí),每年生產(chǎn)的產(chǎn)品是 ( )
A.100 B.150 C.200 D.300
解析:由題意得,總成本函數(shù)為C=C(x)=20 000+100x,
所以總利潤函數(shù)為
P=P(x)=R(x)-C(x)
=
而P′(x)=
令P′(x)=0,得x=300,易知x=300時(shí),P最大.
答案:D
9.已知對(duì)任意實(shí)數(shù)x,都有f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x),且x>0時(shí), f′(x)>0,g′(x)>0,則x<0時(shí) ( )
A.f′(x)>0,g′(x)>0 B.f′(x)>0,g′(x)<0
C.f′(x)<0,g′(x)>0 D.f′(x)<0,g′(x)<0
解析:由題意知f(x)是奇函數(shù),g(x)是偶函數(shù).當(dāng)x>0時(shí),f(x),g(x)都單調(diào)遞增,則當(dāng)x<0時(shí),f(x)單調(diào)遞增,g(x)單調(diào)遞減,即f′(x)>0,g′(x)<0.
答案:B
8.(文)已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+c,曲線y=f(x)在點(diǎn)x=1處的切線l不過第四象限且斜率為3,又坐標(biāo)原點(diǎn)到切線l的距離為,若x=時(shí),y=f(x)有極值,
(1)求a,b,c的值;
(2)求y=f(x)在[-3,1]上的最大值和最小值.
解:(1)由f(x)=x3+ax2+bx+c,得
f′(x)=3x2+2ax+b.
當(dāng)x=1時(shí),切線l的斜率為3,可得2a+b=0. ①
當(dāng)x=時(shí),y=f(x)有極值,則f′()=0,可得
4a+3b+4=0. ②
由①②解得a=2,b=-4.
設(shè)切線l的方程為y=3x+m.
由原點(diǎn)到切線l的距離為,則=,
解得m=±1.
∵切線l不過第四象限,∴m=1.
由于切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x=1,∴f(1)=4.
∴1+a+b+c=4,∴c=5;
(2)由(1)可得f(x)=x3+2x2-4x+5,
∴f′(x)=3x2+4x-4.
令f′(x)=0,得x=-2,x=.
f(x)和f′(x)的變化情況如下表:
x |
[-3,-2) |
-2 |
(-2,) |
|
(,1] |
f′(x) |
+ |
0 |
- |
0 |
+ |
f(x) |
? |
極大值 |
? |
極小值 |
? |
∴f(x)在x=-2處取得極大值f(-2)=13,
在x=處取得極小值f()=.
又f(-3)=8,f(1)=4,
∴f(x)在[-3,1]上的最大值為13,最小值為.
(理)已知函數(shù)f(x)=x3+2bx2+cx-2的圖象在與x軸交點(diǎn)處的切線方程是y=5x-10.
(1)求函數(shù)f(x)的解析式;
(2)設(shè)函數(shù)g(x)=f(x)+mx,若g(x)的極值存在,求實(shí)數(shù)m的取值范圍以及函數(shù)g(x)取得極值時(shí)對(duì)應(yīng)的自變量x的值.
解:(1)由已知,切點(diǎn)為(2,0),故有f(2)=0,
即4b+c+3=0. 、
f′(x)=3x2+4bx+c,由已知,f′(2)=12+8b+c=5.
得8b+c+7=0. ②
聯(lián)立①、②,解得c=1,b=-1,
于是函數(shù)解析式為f(x)=x3-2x2+x-2.
(2)g(x)=x3-2x2+x-2+mx,
g′(x)=3x2-4x+1+,令g′(x)=0.
當(dāng)函數(shù)有極值時(shí),Δ≥0,方程3x2-4x+1+=0有實(shí)根,
由Δ=4(1-m)≥0,得m≤1.
①當(dāng)m=1時(shí),g′(x)=0有實(shí)根x=,在x=左右兩側(cè)均有g′(x)>0,故函數(shù)g(x)無極值.
②當(dāng)m<1時(shí),g′(x)=0有兩個(gè)實(shí)根,
x1=(2-),x2=(2+),
當(dāng)x變化時(shí),g′(x)、g(x)的變化情況如下表:
x |
(-∞,x1) |
x1 |
(x1,x2) |
x2 |
(x2,+∞) |
g′(x) |
+ |
0 |
- |
0 |
+ |
g(x) |
? |
極大值 |
? |
極小值 |
? |
故在m∈(-∞,1)時(shí),函數(shù)g(x)有極值;
當(dāng)x=(2-)時(shí)g(x)有極大值;
當(dāng)x=(2+)時(shí)g(x)有極小值.
題組三 |
導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用 |
7.函數(shù)y=sin2x-x,x∈[-,]的最大值是________,最小值是________.
解析:∵y′=2cos2x-1=0,∴x=±.
而f(-)=-+,f()=-,
端點(diǎn)f(-)=,f()=-,
所以y的最大值是,最小值是-.
答案: -
6.若函數(shù)f(x)=x3-3x+a有3個(gè)不同的零點(diǎn),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 ( )
A.(-2,2) B.[-2,2] C.(-∞,-1) D.(1,+∞)
解析:由f′(x)=3x2-3=3(x-1)(x+1),
且當(dāng)x<-1時(shí),f′(x)>0;
當(dāng)-1<x<1時(shí),f′(x)<0;當(dāng)x>1時(shí),f′(x)>0.
所以當(dāng)x=-1時(shí)函數(shù)f(x)有極大值,當(dāng)x=1時(shí)函數(shù)f(x)有極小值.
要使函數(shù)f(x)有3個(gè)不同的零點(diǎn),只需滿足
解之得-2<a<2.
答案:A
5.(文)函數(shù)f(x)=x3+ax2+3x-9,已知f(x)在x=-3時(shí)取得極值,則a= ( )
A.2 B.3 C.4 D.5
解析:因?yàn)?i>f(x)=x3+ax2+3x-9,所以f′(x)=3x2+2ax+3,由題意有f′(-3)=0,所以3×(-3)2+2a×(-3)+3=0,由此解得a=5.
答案:D
(理)設(shè)a∈R,若函數(shù)y=ex+ax,x∈R有大于零的極值點(diǎn),則 ( )
A.a<-1 B.a>-1 C.a>- D.a<-
解析:由y′=(ex+ax)′=ex+a=0得ex=-a,
即x=ln(-a)>0⇒-a>1⇒a<-1.
答案:A
4.設(shè)函數(shù)f(x)=x3+ax2-9x-1(a<0).若曲線y=f(x)的斜率最小的切線與直線12x+y=6平行,求:
(1)a的值;
(2)函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間.
解:(1)因f(x)=x3+ax2-9x-1,
所以f′(x)=3x2+2ax-9
=32-9-.
即當(dāng)x=-時(shí),f′(x)取得最小值-9-.
因斜率最小的切線與12x+y=6平行,即該切線的斜率為-12,所以-9-=-12,即a2=9.
解得a=±3,由題設(shè)a<0,所以a=-3.
(2)由(1)知a=-3,因此f(x)=x3-3x2-9x-1,
f′(x)=3x2-6x-9=3(x-3)(x+1),
令f′(x)=0,解得x1=-1,x2=3.
當(dāng)x∈(-∞,-1)時(shí),f′(x)>0,
故f(x)在(-∞,-1)上為增函數(shù);
當(dāng)x∈(-1,3)時(shí),f′(x)<0,
故f(x)在(-1,3)上為減函數(shù);
當(dāng)x∈(3,+∞)時(shí),f′(x)>0,故f(x)在(3,+∞)上為增函數(shù).
由此可見,函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-∞,-1)和(3,+∞),單調(diào)遞減區(qū)間為(-1,3).
題組二 |
導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值和最值 |
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