23.(2009寧夏海南卷理)(本小題滿分12分)
為了測量兩山頂M,N間的距離,飛機沿水平方向在A,B兩點進行測量,A,B,M,N在同一個鉛垂平面內(nèi)(如示意圖),飛機能夠測量的數(shù)據(jù)有俯角和A,B間的距離,請設(shè)計一個方案,包括:①指出需要測量的數(shù)據(jù)(用字母表示,并在圖中標出);②用文字和公式寫出計算M,N間的距離的步驟。
(17) 解:
方案一:①需要測量的數(shù)據(jù)有:A
點到M,N點的俯角;B點到M,
N的俯角;A,B的距離 d (如圖所示) . ……….3分
②第一步:計算AM . 由正弦定理 ;
第二步:計算AN . 由正弦定理;
第三步:計算MN. 由余弦定理 .
方案二:①需要測量的數(shù)據(jù)有:
A點到M,N點的俯角,;B點到M,N點的府角,;A,B的距離 d (如圖所示).
②第一步:計算BM . 由正弦定理。
第二步:計算BN . 由正弦定理。
第三步:計算MN . 由余弦定理
22.(2009遼寧卷理)(本小題滿分12分)
如圖,A,B,C,D都在同一個與水平面垂直的平面內(nèi),B,D為兩島上的兩座燈塔的塔頂。測量船于水面A處測得B點和D點的仰角分別為,,于水面C處測得B點和D點的仰角均為,AC=0.1km。試探究圖中B,D間距離與另外哪兩點間距離相等,然后求B,D的距離(計算結(jié)果精確到0.01km,1.414,2.449)
(17)解:
在△ABC中,∠DAC=30°, ∠ADC=60°-∠DAC=30,
所以CD=AC=0.1 又∠BCD=180°-60°-60°=60°,
故CB是△CAD底邊AD的中垂線,所以BD=BA, ……5分
在△ABC中,
即AB=
因此,BD=
故B,D的距離約為0.33km! ……12分
21.(2009遼寧卷文)(本小題滿分12分)
如圖,A,B,C,D都在同一個與水平面垂直的平面內(nèi),B,D為兩島上的兩座燈塔的塔頂。測量船于水面A處測得B點和D點的仰角分別為,,于水面C處測得B點和D點的仰角均為,AC=0.1km。試探究圖中B,D間距離與另外哪兩點距離相等,然后求B,D的距離(計算結(jié)果精確到0.01km,1.414,2.449)
(18)解:
在中,=30°,=60°-=30°,
所以CD=AC=0.1
又=180°-60°-60°=60°,
故CB是底邊AD的中垂線,所以BD=BA 5分
在中,,
即AB=
因此,
故B、D的距離約為0.33km! 12分
18.本小題主要考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)、解三角形等基礎(chǔ)知識,考查運算求解能力以及應(yīng)用數(shù)學知識分析和解決實際問題的能力,考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想,
解法一
(Ⅰ)依題意,有,,又,。
當 是,
又
(Ⅱ)在△MNP中∠MNP=120°,MP=5,
設(shè)∠PMN=,則0°<<60°
由正弦定理得
,
故
0°<<60°,當=30°時,折線段賽道MNP最長
亦即,將∠PMN設(shè)計為30°時,折線段道MNP最長
解法二:
(Ⅰ)同解法一
(Ⅱ)在△MNP中,∠MNP=120°,MP=5,
由余弦定理得∠MNP=
即
故
從而,即
當且僅當時,折線段道MNP最長
注:本題第(Ⅱ)問答案及其呈現(xiàn)方式均不唯一,除了解法一、解法二給出的兩種設(shè)計方式,還可以設(shè)計為:①;②;③點N在線段MP的垂直平分線上等
20.(2009福建卷理)(本小題滿分13分)
如圖,某市擬在長為8km的道路OP的一側(cè)修建一條運動
賽道,賽道的前一部分為曲線段OSM,該曲線段為函數(shù)
y=Asinx(A>0, >0) x[0,4]的圖象,且圖象的最高點為
S(3,2);賽道的后一部分為折線段MNP,為保證參賽
運動員的安全,限定MNP=120
(I)求A , 的值和M,P兩點間的距離;
(II)應(yīng)如何設(shè)計,才能使折線段賽道MNP最長?
19.(2009湖南卷文)(每小題滿分12分)
已知向量
(Ⅰ)若,求的值;
(Ⅱ)若求的值!
解:(Ⅰ) 因為,所以
于是,故
(Ⅱ)由知,
所以
從而,即,
于是.又由知,,
所以,或.
因此,或
18.(2009全國卷Ⅱ理)(本小題滿分10分)
設(shè)的內(nèi)角、、的對邊長分別為、、,,,求。
分析:由,易想到先將代入得。然后利用兩角和與差的余弦公式展開得;又由,利用正弦定理進行邊角互化,得,進而得.故。大部分考生做到這里忽略了檢驗,事實上,當時,由,進而得,矛盾,應(yīng)舍去。
也可利用若則從而舍去。不過這種方法學生不易想到。
評析:本小題考生得分易,但得滿分難。
17.(2009四川卷文)(本小題滿分12分)
在中,為銳角,角所對的邊分別為,且
(I)求的值;
(II)若,求的值。
[解析](I)∵為銳角,
∴
∵
∴ …………………………………………6分
(II)由(I)知,∴
由得
,即
又∵
∴ ∴
∴ …………………………………………12分
16.(2009天津卷文)(本小題滿分12分)
在中,
(Ⅰ)求AB的值。
(Ⅱ)求的值。
[答案]
[解析](1)解:在 中,根據(jù)正弦定理,,于是
(2)解:在 中,根據(jù)余弦定理,得
于是=,
從而
[考點定位]本題主要考查正弦定理,余弦定理同角的三角函數(shù)的關(guān)系式,二倍角的正弦和余弦,兩角差的正弦等基礎(chǔ)知識,考查基本運算能力。
15.(2009江西卷理)(本小題滿分12分)
△中,所對的邊分別為,,.
(1)求;
(2)若,求. 21世紀教育網(wǎng)
解:(1) 因為,即,
所以,
即 ,
得 . 所以,或(不成立).
即 , 得,所以.
又因為,則,或(舍去)
得
(2),
又, 即 ,21世紀教育網(wǎng)
得
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