8.(2009山東卷理)(本小題滿分14分)

設(shè)橢圓E: (a,b>0)過M(2，) ，N(,1)兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，

(I)求橢圓E的方程；

(II)是否存在圓心在原點(diǎn)的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A,B,且？若存在，寫出該圓的方程，并求|AB |的取值范圍，若不存在說明理由。

解:(1)因?yàn)闄E圓E: (a,b>0)過M(2，) ，N(,1)兩點(diǎn),

所以解得所以橢圓E的方程為

(2)假設(shè)存在圓心在原點(diǎn)的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A,B,且,設(shè)該圓的切線方程為解方程組得,即, 21世紀(jì)教育網(wǎng)　 　

則△=,即

,要使,需使,即,所以,所以又,所以,所以,即或,因?yàn)橹本�為圓心在原點(diǎn)的圓的一條切線,所以圓的半徑為,,,所求的圓為,此時(shí)圓的切線都滿足或,而當(dāng)切線的斜率不存在時(shí)切線為與橢圓的兩個(gè)交點(diǎn)為或滿足,綜上, 存在圓心在原點(diǎn)的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A,B,且.

因?yàn)?sub>,

所以,

,　

①當(dāng)時(shí)

因?yàn)?sub>所以,

所以,

所以當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取”=”. 21世紀(jì)教育網(wǎng)　 　

②　　 當(dāng)時(shí),.

③　　 當(dāng)AB的斜率不存在時(shí), 兩個(gè)交點(diǎn)為或,所以此時(shí),

綜上, |AB |的取值范圍為即:

[命題立意]:本題屬于探究是否存在的問題,主要考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的確定,直線與橢圓的位置關(guān)系直線與圓的位置關(guān)系和待定系數(shù)法求方程的方法,能夠運(yùn)用解方程組法研究有關(guān)參數(shù)問題以及方程的根與系數(shù)關(guān)系.

7.(2009江蘇卷)(本題滿分10分)

在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線C的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，經(jīng)過點(diǎn)A(2，2)，其焦點(diǎn)F在軸上。

(1)求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)求過點(diǎn)F，且與直線OA垂直的直線的方程；

(3)設(shè)過點(diǎn)的直線交拋物線C于D、E兩點(diǎn)，ME=2DM，記D和E兩點(diǎn)間的距離為，求關(guān)于的表達(dá)式。

[解析] [必做題]本小題主要考查直線、拋物線及兩點(diǎn)間的距離公式等基本知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力。滿分10分。

6.(2009北京理)(本小題共14分)

已知雙曲線的離心率為，右準(zhǔn)線方程為

(Ⅰ)求雙曲線的方程；

(Ⅱ)設(shè)直線是圓上動(dòng)點(diǎn)處的切線，與雙曲線交

于不同的兩點(diǎn)，證明的大小為定值.

[解法1]本題主要考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程、圓的切線方程等基礎(chǔ)知識(shí)，考查曲線和方程

的關(guān)系等解析幾何的基本思想方法，考查推理、運(yùn)算能力．

(Ⅰ)由題意，得，解得，

　　　　　　　 ∴，∴所求雙曲線的方程為.

(Ⅱ)點(diǎn)在圓上，

圓在點(diǎn)處的切線方程為，

化簡得.

由及得，

∵切線與雙曲線C交于不同的兩點(diǎn)A、B，且，

∴，且，

設(shè)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，

則，

∵，且

，

.

∴ 的大小為.

[解法2](Ⅰ)同解法1.

(Ⅱ)點(diǎn)在圓上，

圓在點(diǎn)處的切線方程為，

化簡得.由及得

　　　　　　　　 ①

　　　　　　　　 ②

∵切線與雙曲線C交于不同的兩點(diǎn)A、B，且，

∴，設(shè)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，

則，

∴，∴ 的大小為.

(∵且，∴，從而當(dāng)時(shí)，方程①和方程②的判別式均大于零).

5.(2009北京文)(本小題共14分)21世紀(jì)教育網(wǎng)　 　

已知雙曲線的離心率為，右準(zhǔn)線方程為。

(Ⅰ)求雙曲線C的方程；

(Ⅱ)已知直線與雙曲線C交于不同的兩點(diǎn)A，B，且線段AB的中點(diǎn)在圓上，求m的值.　

[解析]本題主要考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程、圓的切線方程等基礎(chǔ)知識(shí)，考查曲線和方程

的關(guān)系等解析幾何的基本思想方法，考查推理、運(yùn)算能力．

(Ⅰ)由題意，得，解得，

　　　　　　　 ∴，∴所求雙曲線的方程為.

(Ⅱ)設(shè)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，線段AB的中點(diǎn)為，

　　　 由得(判別式),

　　 ∴,

∵點(diǎn)在圓上，

∴，∴.

4.(2009浙江文)(本題滿分15分)已知拋物線：上一點(diǎn)到其焦點(diǎn)的距離為．

　 (I)求與的值；

　 (II)設(shè)拋物線上一點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，過的直線交于另一點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，過點(diǎn)作的垂線交于另一點(diǎn)．若是的切線，求的最小值．

解析(Ⅰ)由拋物線方程得其準(zhǔn)線方程：，根據(jù)拋物線定義

點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于它到準(zhǔn)線的距離，即，解得

拋物線方程為：，將代入拋物線方程，解得

(Ⅱ)由題意知，過點(diǎn)的直線斜率存在且不為0，設(shè)其為。

則，當(dāng)　 則。

聯(lián)立方程，整理得：

即：，解得或

，而，直線斜率為 21世紀(jì)教育網(wǎng)　 　

，聯(lián)立方程

整理得：，即：

　，解得：，或

，

而拋物線在點(diǎn)N處切線斜率：

MN是拋物線的切線，， 整理得

，解得(舍去)，或，

3.(2009浙江理)(本題滿分15分)已知橢圓：的右頂點(diǎn)為，過的焦點(diǎn)且垂直長軸的弦長為．

　 (I)求橢圓的方程；

　 (II)設(shè)點(diǎn)在拋物線：上，在點(diǎn)處

的切線與交于點(diǎn)．當(dāng)線段的中點(diǎn)與的中

點(diǎn)的橫坐標(biāo)相等時(shí)，求的最小值．

解析：(I)由題意得所求的橢圓方程為，21世紀(jì)教育網(wǎng)　 　

(II)不妨設(shè)則拋物線在點(diǎn)P處的切線斜率為，直線MN的方程為，將上式代入橢圓的方程中，得，即，因?yàn)橹本�MN與橢圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，所以有，

設(shè)線段MN的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)是，則，21世紀(jì)教育網(wǎng)　 　

設(shè)線段PA的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)是，則，由題意得，即有，其中的或；

當(dāng)時(shí)有，因此不等式不成立；因此，當(dāng)時(shí)代入方程得，將代入不等式成立，因此的最小值為1．

2.(2009全國卷Ⅰ理)(本小題滿分12分)(注意：在試題卷上作答無效)

　如圖，已知拋物線與圓相交于、、、四個(gè)點(diǎn)。

　(I)求得取值范圍；

　(II)當(dāng)四邊形的面積最大時(shí)，求對(duì)角線、的交點(diǎn)坐標(biāo)

分析：(I)這一問學(xué)生易下手。將拋物線與圓的方程聯(lián)立，消去，整理得．．．．．．．．．．．．．(＊)

拋物線與圓相交于、、、四個(gè)點(diǎn)的充要條件是：方程(＊)有兩個(gè)不相等的正根即可.易得.考生利用數(shù)形結(jié)合及函數(shù)和方程的思想來處理也可以．

(II)考綱中明確提出不考查求兩個(gè)圓錐曲線的交點(diǎn)的坐標(biāo)。因此利用設(shè)而不求、整體代入的 方法處理本小題是一個(gè)較好的切入點(diǎn)．

　 設(shè)四個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)分別為、、、。

則由(I)根據(jù)韋達(dá)定理有，

則

令，則　　 下面求的最大值。

方法一：利用三次均值求解。三次均值目前在兩綱中雖不要求，但在處理一些最值問題有時(shí)很方便。它的主要手段是配湊系數(shù)或常數(shù)，但要注意取等號(hào)的條件，這和二次均值類似。

　　 當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取最大值。經(jīng)檢驗(yàn)此時(shí)滿足題意。

方法二：利用求導(dǎo)處理，這是命題人的意圖。具體解法略。

下面來處理點(diǎn)的坐標(biāo)。設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為：

由三點(diǎn)共線，則得。

以下略。

1.(2009年廣東卷文)(本小題滿分14分)

已知橢圓G的中心在坐標(biāo)原點(diǎn),長軸在軸上,離心率為,兩個(gè)焦點(diǎn)分別為和,橢圓G上一點(diǎn)到和的距離之和為12.圓:的圓心為點(diǎn).

(1)求橢圓G的方程

(2)求的面積

(3)問是否存在圓包圍橢圓G?請(qǐng)說明理由.

[解析](1)設(shè)橢圓G的方程為：　 ()半焦距為c;

　　　　 則 , 解得 ,

　　 所求橢圓G的方程為：. 21世紀(jì)教育網(wǎng)　 　　　　　

(2 )點(diǎn)的坐標(biāo)為

(3)若，由可知點(diǎn)(6，0)在圓外，

　　 若，由可知點(diǎn)(-6，0)在圓外；

　　 不論K為何值圓都不能包圍橢圓G.

23.(2009上海卷文)已知是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，為橢圓上的一點(diǎn)，且。若的面積為9，則　　　　　　 . 　　　

[答案]3

[解析]依題意，有，可得4c²+36＝4a²，即a²－c²＝9，故有b＝3。

22.(2009年上海卷理)已知、是橢圓(＞＞0)的兩個(gè)焦點(diǎn)，為橢圓上一點(diǎn)，且.若的面積為9，則=____________. 　　　　　　　

[答案]3

[解析]依題意，有，可得4c²+36＝4a²，即a²－c²＝9，故有b＝3。