8.(2009山東卷理)(本小題滿分14分)
設(shè)橢圓E: (a,b>0)過M(2,) ,N(,1)兩點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),
(I)求橢圓E的方程;
(II)是否存在圓心在原點(diǎn)的圓,使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A,B,且?若存在,寫出該圓的方程,并求|AB |的取值范圍,若不存在說明理由。
解:(1)因?yàn)闄E圓E: (a,b>0)過M(2,) ,N(,1)兩點(diǎn),
所以解得所以橢圓E的方程為
(2)假設(shè)存在圓心在原點(diǎn)的圓,使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A,B,且,設(shè)該圓的切線方程為解方程組得,即, 21世紀(jì)教育網(wǎng)
則△=,即
,要使,需使,即,所以,所以又,所以,所以,即或,因?yàn)橹本為圓心在原點(diǎn)的圓的一條切線,所以圓的半徑為,,,所求的圓為,此時(shí)圓的切線都滿足或,而當(dāng)切線的斜率不存在時(shí)切線為與橢圓的兩個(gè)交點(diǎn)為或滿足,綜上, 存在圓心在原點(diǎn)的圓,使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A,B,且.
因?yàn)?sub>,
所以,
,
①當(dāng)時(shí)
因?yàn)?sub>所以,
所以,
所以當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取”=”. 21世紀(jì)教育網(wǎng)
② 當(dāng)時(shí),.
③ 當(dāng)AB的斜率不存在時(shí), 兩個(gè)交點(diǎn)為或,所以此時(shí),
綜上, |AB |的取值范圍為即:
[命題立意]:本題屬于探究是否存在的問題,主要考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的確定,直線與橢圓的位置關(guān)系直線與圓的位置關(guān)系和待定系數(shù)法求方程的方法,能夠運(yùn)用解方程組法研究有關(guān)參數(shù)問題以及方程的根與系數(shù)關(guān)系.
7.(2009江蘇卷)(本題滿分10分)
在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線C的頂點(diǎn)在原點(diǎn),經(jīng)過點(diǎn)A(2,2),其焦點(diǎn)F在軸上。
(1)求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)求過點(diǎn)F,且與直線OA垂直的直線的方程;
(3)設(shè)過點(diǎn)的直線交拋物線C于D、E兩點(diǎn),ME=2DM,記D和E兩點(diǎn)間的距離為,求關(guān)于的表達(dá)式。
[解析] [必做題]本小題主要考查直線、拋物線及兩點(diǎn)間的距離公式等基本知識(shí),考查運(yùn)算求解能力。滿分10分。
6.(2009北京理)(本小題共14分)
已知雙曲線的離心率為,右準(zhǔn)線方程為
(Ⅰ)求雙曲線的方程;
(Ⅱ)設(shè)直線是圓上動(dòng)點(diǎn)處的切線,與雙曲線交
于不同的兩點(diǎn),證明的大小為定值.
[解法1]本題主要考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程、圓的切線方程等基礎(chǔ)知識(shí),考查曲線和方程
的關(guān)系等解析幾何的基本思想方法,考查推理、運(yùn)算能力.
(Ⅰ)由題意,得,解得,
∴,∴所求雙曲線的方程為.
(Ⅱ)點(diǎn)在圓上,
圓在點(diǎn)處的切線方程為,
化簡得.
由及得,
∵切線與雙曲線C交于不同的兩點(diǎn)A、B,且,
∴,且,
設(shè)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為,
則,
∵,且
,
.
∴ 的大小為.
[解法2](Ⅰ)同解法1.
(Ⅱ)點(diǎn)在圓上,
圓在點(diǎn)處的切線方程為,
化簡得.由及得
①
②
∵切線與雙曲線C交于不同的兩點(diǎn)A、B,且,
∴,設(shè)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為,
則,
∴,∴ 的大小為.
(∵且,∴,從而當(dāng)時(shí),方程①和方程②的判別式均大于零).
5.(2009北京文)(本小題共14分)21世紀(jì)教育網(wǎng)
已知雙曲線的離心率為,右準(zhǔn)線方程為。
(Ⅰ)求雙曲線C的方程;
(Ⅱ)已知直線與雙曲線C交于不同的兩點(diǎn)A,B,且線段AB的中點(diǎn)在圓上,求m的值.
[解析]本題主要考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程、圓的切線方程等基礎(chǔ)知識(shí),考查曲線和方程
的關(guān)系等解析幾何的基本思想方法,考查推理、運(yùn)算能力.
(Ⅰ)由題意,得,解得,
∴,∴所求雙曲線的方程為.
(Ⅱ)設(shè)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為,線段AB的中點(diǎn)為,
由得(判別式),
∴,
∵點(diǎn)在圓上,
∴,∴.
4.(2009浙江文)(本題滿分15分)已知拋物線:上一點(diǎn)到其焦點(diǎn)的距離為.
(I)求與的值;
(II)設(shè)拋物線上一點(diǎn)的橫坐標(biāo)為,過的直線交于另一點(diǎn),交軸于點(diǎn),過點(diǎn)作的垂線交于另一點(diǎn).若是的切線,求的最小值.
解析(Ⅰ)由拋物線方程得其準(zhǔn)線方程:,根據(jù)拋物線定義
點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于它到準(zhǔn)線的距離,即,解得
拋物線方程為:,將代入拋物線方程,解得
(Ⅱ)由題意知,過點(diǎn)的直線斜率存在且不為0,設(shè)其為。
則,當(dāng) 則。
聯(lián)立方程,整理得:
即:,解得或
,而,直線斜率為 21世紀(jì)教育網(wǎng)
,聯(lián)立方程
整理得:,即:
,解得:,或
,
而拋物線在點(diǎn)N處切線斜率:
MN是拋物線的切線,, 整理得
,解得(舍去),或,
3.(2009浙江理)(本題滿分15分)已知橢圓:的右頂點(diǎn)為,過的焦點(diǎn)且垂直長軸的弦長為.
(I)求橢圓的方程;
(II)設(shè)點(diǎn)在拋物線:上,在點(diǎn)處
的切線與交于點(diǎn).當(dāng)線段的中點(diǎn)與的中
點(diǎn)的橫坐標(biāo)相等時(shí),求的最小值.
解析:(I)由題意得所求的橢圓方程為,21世紀(jì)教育網(wǎng)
(II)不妨設(shè)則拋物線在點(diǎn)P處的切線斜率為,直線MN的方程為,將上式代入橢圓的方程中,得,即,因?yàn)橹本MN與橢圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn),所以有,
設(shè)線段MN的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)是,則,21世紀(jì)教育網(wǎng)
設(shè)線段PA的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)是,則,由題意得,即有,其中的或;
當(dāng)時(shí)有,因此不等式不成立;因此,當(dāng)時(shí)代入方程得,將代入不等式成立,因此的最小值為1.
2.(2009全國卷Ⅰ理)(本小題滿分12分)(注意:在試題卷上作答無效)
如圖,已知拋物線與圓相交于、、、四個(gè)點(diǎn)。
(I)求得取值范圍;
(II)當(dāng)四邊形的面積最大時(shí),求對(duì)角線、的交點(diǎn)坐標(biāo)
分析:(I)這一問學(xué)生易下手。將拋物線與圓的方程聯(lián)立,消去,整理得.............(*)
拋物線與圓相交于、、、四個(gè)點(diǎn)的充要條件是:方程(*)有兩個(gè)不相等的正根即可.易得.考生利用數(shù)形結(jié)合及函數(shù)和方程的思想來處理也可以.
(II)考綱中明確提出不考查求兩個(gè)圓錐曲線的交點(diǎn)的坐標(biāo)。因此利用設(shè)而不求、整體代入的 方法處理本小題是一個(gè)較好的切入點(diǎn).
設(shè)四個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)分別為、、、。
則由(I)根據(jù)韋達(dá)定理有,
則
令,則 下面求的最大值。
方法一:利用三次均值求解。三次均值目前在兩綱中雖不要求,但在處理一些最值問題有時(shí)很方便。它的主要手段是配湊系數(shù)或常數(shù),但要注意取等號(hào)的條件,這和二次均值類似。
當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)取最大值。經(jīng)檢驗(yàn)此時(shí)滿足題意。
方法二:利用求導(dǎo)處理,這是命題人的意圖。具體解法略。
下面來處理點(diǎn)的坐標(biāo)。設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為:
由三點(diǎn)共線,則得。
以下略。
1.(2009年廣東卷文)(本小題滿分14分)
已知橢圓G的中心在坐標(biāo)原點(diǎn),長軸在軸上,離心率為,兩個(gè)焦點(diǎn)分別為和,橢圓G上一點(diǎn)到和的距離之和為12.圓:的圓心為點(diǎn).
(1)求橢圓G的方程
(2)求的面積
(3)問是否存在圓包圍橢圓G?請(qǐng)說明理由.
[解析](1)設(shè)橢圓G的方程為: ()半焦距為c;
則 , 解得 ,
所求橢圓G的方程為:. 21世紀(jì)教育網(wǎng)
(2 )點(diǎn)的坐標(biāo)為
(3)若,由可知點(diǎn)(6,0)在圓外,
若,由可知點(diǎn)(-6,0)在圓外;
不論K為何值圓都不能包圍橢圓G.
23.(2009上海卷文)已知是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn),為橢圓上的一點(diǎn),且。若的面積為9,則 .
[答案]3
[解析]依題意,有,可得4c2+36=4a2,即a2-c2=9,故有b=3。
22.(2009年上海卷理)已知、是橢圓(>>0)的兩個(gè)焦點(diǎn),為橢圓上一點(diǎn),且.若的面積為9,則=____________.
[答案]3
[解析]依題意,有,可得4c2+36=4a2,即a2-c2=9,故有b=3。
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