30.(2009重慶卷理)(本小題滿分13分，(Ⅰ)問7分，(Ⅱ)問6分)

某單位為綠化環(huán)境，移栽了甲、乙兩種大樹各2株．設(shè)甲、乙兩種大樹移栽的成活率分別為和，且各株大樹是否成活互不影響．求移栽的4株大樹中：

(Ⅰ)兩種大樹各成活1株的概率；

(Ⅱ)成活的株數(shù)的分布列與期望． 　　

解：設(shè)表示甲種大樹成活k株，k＝0，1，2

　表示乙種大樹成活l株，l＝0，1，2

　則，獨(dú)立. 由獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件發(fā)生的概率公式有

　　 　, 　.

　　 據(jù)此算得

　 ,　 　, 　. .　 　

　　 　,　 　, 　.

　　 (Ⅰ) 所求概率為

　　　.

　　 (Ⅱ) 解法一：

　　的所有可能值為0，1，2，3，4，且.　 　

　　　　 　,

　　　　 　,

　　　　　　　　 = ,

　　　　 　.

　　　　 　.

綜上知有分布列

	0	1	2	3	4
P	1/36	1/6	13/36	1/3	1/9

從而，的期望為

(株)

解法二：

分布列的求法同上

令分別表示甲乙兩種樹成活的株數(shù)，則

故有 .　 　

從而知

29.(2009福建卷文)(本小題滿分12分)

袋中有大小、形狀相同的紅、黑球各一個(gè)，現(xiàn)一次有放回地隨機(jī)摸取3次，每次摸取一個(gè)球

　 (I)試問：一共有多少種不同的結(jié)果？請(qǐng)列出所有可能的結(jié)果； 　　　　　　　　　

　 (Ⅱ)若摸到紅球時(shí)得2分，摸到黑球時(shí)得1分，求3次摸球所得總分為5的概率。

解：(I)一共有8種不同的結(jié)果，列舉如下：

　　　 (紅、紅、紅、)、(紅、紅、黑)、(紅、黑、紅)、(紅、黑、黑)、(黑、紅、紅)、(黑、紅、黑)、(黑、黑、紅)、(黑、黑、黑)

　 (Ⅱ)記“3次摸球所得總分為5”為事件A

　　　　 事件A包含的基本事件為：(紅、紅、黑)、(紅、黑、紅)、(黑、紅、紅)事件A包含的基本事件數(shù)為3

　　　　 由(I)可知，基本事件總數(shù)為8，所以事件A的概率為 .　 　

28.(2009四川卷理)(本小題滿分12分)

為振興旅游業(yè)，四川省2009年面向國(guó)內(nèi)發(fā)行總量為2000萬(wàn)張的熊貓優(yōu)惠卡，向省外人士發(fā)行的是熊貓金卡(簡(jiǎn)稱金卡)，向省內(nèi)人士發(fā)行的是熊貓銀卡(簡(jiǎn)稱銀卡)。某旅游公司組織了一個(gè)有36名游客的旅游團(tuán)到四川名勝旅游，其中是省外游客，其余是省內(nèi)游客。在省外游客中有持金卡，在省內(nèi)游客中有持銀卡。.　 　

(I)在該團(tuán)中隨機(jī)采訪3名游客，求恰有1人持金卡且持銀卡者少于2人的概率；

(II)在該團(tuán)的省內(nèi)游客中隨機(jī)采訪3名游客，設(shè)其中持銀卡人數(shù)為隨機(jī)變量，求的分布列及數(shù)學(xué)期望。

本小題主要考察相互獨(dú)立事件、互斥事件、隨機(jī)變量的分布列、數(shù)學(xué)期望等概率計(jì)算，考察運(yùn)用概率只是解決實(shí)際問題的能力。

　　 解：(Ⅰ)由題意得，省外游客有27人，其中9人持金卡；省內(nèi)游客有9人，其中6人持銀卡。設(shè)事件為“采訪該團(tuán)3人中，恰有1人持金卡且持銀卡者少于2人”，

　　 事件為“采訪該團(tuán)3人中，1人持金卡，0人持銀卡”，

　　 事件為“采訪該團(tuán)3人中，1人持金卡，1人持銀卡”。 　　　　.　 　

　　 所以在該團(tuán)中隨機(jī)采訪3人，恰有1人持金卡且持銀卡者少于2人的概率是。

…………………………………………………………6分

(Ⅱ)的可能取值為0，1，2，3

　　　 ,　　 　.　 　

　　　 ，，.　 　

　　 所以的分布列為

	0	1	2	3

　　 所以，　 ……………………12分　

27.(2009湖南卷理)(本小題滿分12分).　 　

為拉動(dòng)經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)，某市決定新建一批重點(diǎn)工程，分別為基礎(chǔ)設(shè)施工程、民生工程和產(chǎn)業(yè)建設(shè)工程三類，這三類工程所含項(xiàng)目的個(gè)數(shù)分別占總數(shù)的.、、，現(xiàn)在3名工人獨(dú)立地從中任選一個(gè)項(xiàng)目參與建設(shè)。 　　　　　

(I)求他們選擇的項(xiàng)目所屬類別互不相同的概率；

(II)記為3人中選擇的項(xiàng)目屬于基礎(chǔ)設(shè)施工程、民生工程和產(chǎn)業(yè)建設(shè)工程的人數(shù)，求 的分布列及數(shù)學(xué)期望。

解:記第1名工人選擇的項(xiàng)目屬于基礎(chǔ)設(shè)施工程、民生工程和產(chǎn)業(yè)建設(shè)工程分別為事件　　　 ,,，i=1，2，3.由題意知相互獨(dú)立，相互獨(dú)立，相互獨(dú)立，,,(i，j，k=1，2，3，且i，j，k互不相同)相互獨(dú)立，且P()=，P()=，P()=

(1)　　　 他們選擇的項(xiàng)目所屬類別互不相同的概率

P=3！P()=6P()P()P()=6=

(2) 解法1　 設(shè)3名工人中選擇的項(xiàng)目屬于民生工程的人數(shù)為，由己已知，-B(3，)，且=3。

所以P(=0)=P(=3)==，.　 　

　P(=1)=P(=2)= 　= 　　　　　　

P(=2)=P(=1)==

P(=3)=P(=0)= 　=

故的分布是

	0	1	2	3
P

的數(shù)學(xué)期望E=0+1+2+3=2

解法2 第i名工人選擇的項(xiàng)目屬于基礎(chǔ)工程或產(chǎn)業(yè)工程分別為事件，

i=1,2,3 ，由此已知，·D，相互獨(dú)立，且

P()-(，)= P()+P()=+= .　 　

所以--,既， 　　　　　　

故的分布列是

		1	2	3

所以

由事件的獨(dú)立性的

解答2(Ⅰ)設(shè)事件A表示“一個(gè)月內(nèi)被投訴2次”設(shè)事件B表示“一個(gè)月內(nèi)被投訴的次數(shù)不超過1次”

所以

(Ⅱ)同解答1(Ⅱ)

26.(2009寧夏海南卷文)(本小題滿分12分)

　 某工廠有工人1000名，其中250名工人參加過短期培訓(xùn)(稱為A類工人)，另外750名工人參加過長(zhǎng)期培訓(xùn)(稱為B類工人).現(xiàn)用分層抽樣方法(按A類，B類分二層)從該工廠的工人中共抽查100名工人，調(diào)查他們的生產(chǎn)能力(生產(chǎn)能力指一天加工的零件數(shù)).

(Ⅰ)A類工人中和B類工人各抽查多少工人？.　 　

(Ⅱ)從A類工人中抽查結(jié)果和從B類工人中的抽查結(jié)果分別如下表1和表2

表1：

生產(chǎn)能力分組
人數(shù)	4	8		5	3

表2：

生產(chǎn)能力分組
人數(shù)	6	y	36	18

(1)　　　 先確定，再在答題紙上完成下列頻率分布直方圖。就生產(chǎn)能力而言，A類工人中個(gè)體間的差異程度與B類工人中個(gè)體間的差異程度哪個(gè)更�。�(不用計(jì)算，可通過觀察直方圖直接回答結(jié)論)

(ii)分別估計(jì)類工人和類工人生產(chǎn)能力的平均數(shù)，并估計(jì)該工廠工人和生產(chǎn)能力的平均數(shù)(同一組中的數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點(diǎn)值作代表)。

(19)解：

(Ⅰ)類工人中和類工人中分別抽查25名和75名。　　　　　　　 ．．．．．．4分

(Ⅱ)(ⅰ)由，得，

　　　　　　 ，得。 　　　　　

頻率分布直方圖如下

　　　　　　　　 ．．．．．．8分

從直方圖可以判斷：類工人中個(gè)體間的差異程度更小�！　　　　　　　� ．．．．．．9分

　(ii) ，

　　　 ， 　　　　　

A類工人生產(chǎn)能力的平均數(shù)，B類工人生產(chǎn)能力的平均數(shù)以及全廠工人生產(chǎn)能力的平均數(shù)的估計(jì)值分別為123，133.8和131.1.

25.(2009陜西卷文)(本小題滿分12分)

椐統(tǒng)計(jì)，某食品企業(yè)一個(gè)月內(nèi)被消費(fèi)者投訴的次數(shù)為0,1,2的概率分別為0.4,0.5,0.1

(Ⅰ) 求該企業(yè)在一個(gè)月內(nèi)共被消費(fèi)者投訴不超過1次的概率；

(Ⅱ)假設(shè)一月份與二月份被消費(fèi)者投訴的次數(shù)互不影響,求該企業(yè)在這兩個(gè)月內(nèi)共被消費(fèi)者投訴2次的概率。

解析:解答1(Ⅰ)設(shè)事件A表示“一個(gè)月內(nèi)被投訴的次數(shù)為0”事件B表示“一個(gè)月內(nèi)被投訴的次數(shù)為1”

所以

(Ⅱ)設(shè)事件表示“第個(gè)月被投訴的次數(shù)為0”事件表示“第個(gè)月被投訴的次數(shù)為1”事件表示“第個(gè)月被投訴的次數(shù)為2”事件D表示“兩個(gè)月內(nèi)被投訴2次”

所以

所以兩個(gè)月中，一個(gè)月被投訴2次，另一個(gè)月被投訴0次的概率為

24.(本小題滿分12分) 某食品企業(yè)一個(gè)月內(nèi)被消費(fèi)者投訴的次數(shù)用表示，.　 　

椐統(tǒng)計(jì)，隨機(jī)變量的概率分布如下：

	0	1	2	3
p	0.1	0.3	2a	a

(Ⅰ)求a的值和的數(shù)學(xué)期望；

(Ⅱ)假設(shè)一月份與二月份被消費(fèi)者投訴的次數(shù)互不影響,求該企業(yè)在這兩個(gè)月內(nèi)共被消費(fèi)者投訴2次的概率。

解析:(Ⅰ)由概率分布的性質(zhì)知, 則的分布列為

	0	1	2	3
p	0.1	0.3	0.4	0.2

(Ⅱ)設(shè)事件表示”2個(gè)月內(nèi)共被投訴2次"　　 事件表示”2個(gè)月內(nèi)有一個(gè)月被投訴2次,另一個(gè)月被投訴0次" ,事件表示”2個(gè)月內(nèi)每個(gè)月均被投訴1次"　 則由事件的獨(dú)立性可得

　　 　　　故該企業(yè)在這兩個(gè)月共被投訴2次的概率為0.17. .　 　

23.(2009四川卷文)(本小題滿分12分)

為振興旅游業(yè)，四川省2009年面向國(guó)內(nèi)發(fā)行總量為2000萬(wàn)張的熊貓優(yōu)惠卡，向省外人士發(fā)行的是熊貓金卡(簡(jiǎn)稱金卡)，向省內(nèi)人士發(fā)行的是熊貓銀卡(簡(jiǎn)稱銀卡)。某旅游公司組織了一個(gè)有36名游客的旅游團(tuán)到四川名勝旅游，其中是省外游客，其余是省內(nèi)游客。在省外游客中有持金卡，在省內(nèi)游客中有持銀卡�！� 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　.　 　

(I)在該團(tuán)中隨機(jī)采訪2名游客，求恰有1人持銀卡的概率；

(II)在該團(tuán)中隨機(jī)采訪2名游客，求其中持金卡與持銀卡人數(shù)相等的概率.

[解析]I)由題意得,省外游客有27人,其中9人持金卡;省內(nèi)游客有9人,其中6人持銀卡.

設(shè)事件A為“采訪該團(tuán)2人,恰有1人持銀卡”,則

所以采訪該團(tuán)2人，恰有1人持銀卡的概率是.　　 …………………………………6分

(II)設(shè)事件B為“采訪該團(tuán)2人,持金卡人數(shù)與持銀卡人數(shù)相等”,可以分為：

事件B₁為“采訪該團(tuán)2人,持金卡0人，持銀卡0人”,或事件B₂為“采訪該團(tuán)2人,持金卡1人，持銀卡1人”兩種情況，則

所以采訪該團(tuán)2人，持金卡與持銀卡人數(shù)相等的概率是.　　 ……………………12分

22.(2009全國(guó)卷Ⅰ文)(本小題滿分12分)(注意：在試題卷上作答無(wú)效)

甲、乙二人進(jìn)行一次圍棋比賽，約定先勝3局者獲得這次比賽的勝利，比賽結(jié)束。假設(shè)在一局中，甲獲勝的概率為0.6，乙獲勝的概率為0.4，各局比賽結(jié)果相互獨(dú)立。已知前2局中，甲、乙各勝1局。

(Ⅰ)求再賽2局結(jié)束這次比賽的概率；

(Ⅱ)求甲獲得這次比賽勝利的概率。

[解析]本小題考查互斥事件有一個(gè)發(fā)生的概率、相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率，綜合題。

解：記“第局甲獲勝”為事件，“第局甲獲勝”為事件。

(Ⅰ)設(shè)“再賽2局結(jié)束這次比賽”為事件A，則

，由于各局比賽結(jié)果相互獨(dú)立，故

。

(Ⅱ)記“甲獲得這次比賽勝利”為事件B，因前兩局中，甲、乙各勝1局，故甲獲得這次比賽勝利當(dāng)且僅當(dāng)在后面的比賽中，甲先勝2局，從而

，由于各局比賽結(jié)果相互獨(dú)立，故

　.　 　

21.(本小題滿分12分)

　　　 某企業(yè)有兩個(gè)分廠生產(chǎn)某種零件，按規(guī)定內(nèi)徑尺寸(單位：mm)的值落在(29.94，30.06)的零件為優(yōu)質(zhì)品。從兩個(gè)分廠生產(chǎn)的零件中個(gè)抽出500件，量其內(nèi)徑尺寸，的結(jié)果如下表：

　　　 甲廠

(1)　　　 試分別估計(jì)兩個(gè)分廠生產(chǎn)的零件的優(yōu)質(zhì)品率；

(2)　　　 由于以上統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)填下面列聯(lián)表，并問是否有99%的把握認(rèn)為“兩個(gè)分廠生產(chǎn)的零件的質(zhì)量有差異”。

附： 　　　　　　

解：(Ⅰ)甲廠抽查的產(chǎn)品中有360件優(yōu)質(zhì)品，從而甲廠生產(chǎn)的零件的優(yōu)質(zhì)品率估計(jì)為；　 ……6分

乙廠抽查的產(chǎn)品中有320件優(yōu)質(zhì)品，從而乙廠生產(chǎn)的零件的優(yōu)質(zhì)品率估計(jì)為

(Ⅱ)

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　 ……8分

所以有99%的把握認(rèn)為“兩個(gè)分廠生產(chǎn)的零件的質(zhì)量有差異”�！　　　　　� ……12分