0  446484  446492  446498  446502  446508  446510  446514  446520  446522  446528  446534  446538  446540  446544  446550  446552  446558  446562  446564  446568  446570  446574  446576  446578  446579  446580  446582  446583  446584  446586  446588  446592  446594  446598  446600  446604  446610  446612  446618  446622  446624  446628  446634  446640  446642  446648  446652  446654  446660  446664  446670  446678  447090 

462. 如圖9-51,已知ABCD、ABEF、CDFE都是長方形,且平面ABCD⊥平面ABEF.記∠FCE=q ,∠CFB=a ,∠CEB=b ,則有( ).

 A.sinb =sina ·sinq    B.cosa =cosb ·cosq

 C.sina =sinb ·cosq    D.sinb =sina ·cosq

解析:C.

于是sina =sinb ·cosq

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461. 如圖,設(shè)ABC-A1B1C1是直三棱柱,E、F分別為AB、A1B1的中點,且AB=2AA1=2a,AC=BC=a.

(1)求證:AF⊥A1C

(2)求二面角C-AF-B的大小

分析  本小題考查空間幾何垂直的概念和二面角的度量等知識.

解  (1)∵AC=BC,E為AB中點,∴CE⊥AB

又∵ABC-A1B1C1為直棱柱,∴CE⊥面AA1BB

連結(jié)EF,由于AB=2AA1

∴AA1FE為正方形

∴AF⊥A1E,從而AF⊥A1C

(2)設(shè)AF與A1E交于O,連結(jié)CO,由于AF⊥A1E,知AF⊥面CEA1

∴∠COE即為二面角C-AF-B的平面角

∵AB=2AA1=2a,AC=BC=a

∴CE=a,OE=a,∴tan∠COE==2.

∴二面角C-AF-B的大小是arctan2.

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460.  如圖,在正方體ABDC-A1B1C1D1中,E、F分別是BB1、CD的中點.

(1)證明AD⊥D1F

(2)求AE與D1F所成的角

(3)證明面AED⊥面A1FD1

(4)設(shè)AA1=2,求三棱錐F-A1ED1的體積V??F-A1ED1?

解析:(1)∵AC1是正方體,∴AD⊥面DC1.又D1FDC1,∴AD⊥D1F.

(2)取AB中點G,連結(jié)A1G、FG(如圖).因為F是CD的中點,所以GF、AD平行且相等,又A1D1、AD平行且相等,所以GF、A1D1平行且相等,故GFD1A1是平行四邊形,A1G∥D1F.

設(shè)A1G與AE相交于點H,則∠AHA1是AE與D1F所成的角.因為E是BB1的中點,RtΔA1AG≌RtΔABE,∠GA1A=∠GAH,從而∠AHA1=90°,即直線AE與D1F所成角為直角.

(3)由(1)知AD⊥D1F,由(2)知AE⊥D1F,又AD∩AE=A,所以D1F⊥面AED.又因為D1F面A1ED1,∴體積,∵AA1=2,∴面積-2-.

×A1D1××2×=1.

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459.  如圖,已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1,點E在棱D1D上,截面EAC∥D1B,且面EAC與底面ABCD所成的角為45°,AB=a.

(1)求截面EAC的面積

(2)求異面直線A1B1與AC之間的距離

(3)求三棱錐B1-EAC的體積

解析:(1)連結(jié)DB交AC于O,連結(jié)EO.

∵底面ABCD是正方形

∴DO⊥AC

又∵ED⊥底面AC  ∴EO⊥AC

∴∠EOD是面EAC與底面AC所成二面角的平面角

∴∠EOD=45°

DO=a,AC=a,EO=a·sec45°=a.

故  SΔEACa2.

(2)解:由題設(shè)ABCD-A1B1C1D1是正四棱柱,得A1A⊥底面AC,A1A⊥AC.

又A1A⊥A1B1

∴A1A是異面直線A1B1與AC間的公垂線

∵D1B∥面EAC,且面D1BD與面EAC交線為EO

∴D1B∥EO

又O是DB的中點

∴E是D1D的中點,D1B=2EO=2a.

∴D1D=a.

異面直線A1B1與AC間的距離為a.

連結(jié)B1O,則=2

∵AO⊥面BDD1B1

∴AO是三棱錐A-EOB1的高,AO=a.

在正方形BDD1B1中,E、O分別是D1D、DB的中點

則:a2.

=2··a2·a=a3

所以三棱錐B1-EAC的體積是a3.

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458.  如圖,已知A1B1C1-ABC是正三棱柱,D是AC中點.

(1)證明AB1∥面DBC1

(2)假設(shè)AB1⊥BC1,BC=2,求線段AB1在側(cè)面BB1CC1上的射影長.

分析:弄清楚正三棱柱的概念,利用三垂線定理找二面角.

解析:(1)證明:∵A1B1C1-ABC是正三棱柱,

∴四形B1BCC1是矩形,連結(jié)B1C,交BC1于E,

則B1E=EC,連結(jié)DE.

在ΔAB1C中,AD=DC,∴DE∥AB1

又AB1平面DBC1,DE平面DBC1

∴AB1∥平面DBC1

(2)解:作DF⊥BC,垂足為F,因為面ABC⊥面B1BC1,所以DF⊥B1BCC1,連結(jié)B1E,則B1E是A1B在平面B1BCC1內(nèi)的射影

∵BC1⊥AB1  ∴BC1⊥B1E

∵B1BCC1是矩形

∴∠B1BF=BC1C=90°

∴ΔB1BF∽ΔBCC1

又F為正三角形ABC的BC邊中點

因而B1B2=BF·BC=2

于是B1F2=B1B2+BF2=3,∴B1F=

即線段AB1在平面B1BCC1內(nèi)的射影長為

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457.求證:底面是梯形的直棱柱的體積,等于兩個平行側(cè)面面積的和與這兩個側(cè)面間距離的積的一半.

已知:直四棱柱A1C,如圖,它的底面AC為梯形.DC∥AB,側(cè)面A1B與側(cè)面D1C的距離為h.

求證:(+)×h

證:設(shè)D1E1是梯形A1B1C1D1的高,

∵D1E1⊥A1B1,D1E1面A1C1

面A1C1⊥面A1B,面A1C1∩面A1B=A1B1.

∴D1E1⊥面A1B.

∴D1E1=h.

=S·AA1

(D1C1+A1B1)·D1E1·AA1

(D1C1·A1A+A1B1·A1A)·h

(+)·h

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456.求證:(1)平行六面體的各對角線交于一點,并且在這一點互相平分.

(2)對角線相等的平行六面體是長方體.

已知:平行六面體ABCD-A1B1C1D1

求證:(1)對角線AC1、BD1、CA1、DB1相交于一點,且在這點互相平分;

(2)若AC1=BD1=CA1=DB1時,該平行六面體為長方體.

證明:(1)∵AA1BB1,BB1CC1,

∴AA1CC1.

∴對面角A1ACC1是平行四邊形.

∴CA1與AC1相交,且互相平分.

設(shè)CA1∩AC1=0,則O為CA1,AC1的中點.

同理,可證DB1與AC1及AC1與D1B也相交于一點,且互相平分.

交點也是O.

∴AC1、BD1、DB1、CA1交于一點,且互相平分.

(2)∵平行六面體AC1的對角線面A1C1CA、B1D1DB都是平行四邊形.且它們的對角線A1C、B1D、C1A、D1B都相等.

∴對角面A1C1AC,B1D1DB都是矩形.

因此  CC1⊥A1C1

∴BB1⊥B1D1

又∵BB1∥CC1

∴BB1⊥A1C1

∴BB1⊥平面A1C1

∴平行六面體A1C是直平行六面體

同理可證:CB⊥平面A1B,則BC⊥AB.

∴平面四邊形ABCD是矩形.

∴直平行六面體A1C是長方體.

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455.  如圖,平行六面體ABCD-A1B1C1D1的底面是邊長為1的正方形,側(cè)棱AA1長為2,且∠A1AB=∠A1AD=60°則此平行六面體的體積為      

解析:一  求平行六面體ABCD-A1B1C1D的體積,應(yīng)用公式.由于底面是正方形,所以關(guān)鍵是求高,即到底面ABCD的距離

解法一:過點A1做A1O⊥平面ABCD,垂足為O,過O做OE⊥AB,OF⊥AD,垂足分別為E、F,連結(jié)A1E,A1F,可知O在∠BAD的平分線AC上.

∴cos∠A1AO·cos∠OAF=·=cos∠A1AF

即cos∠A1AO·cos45°=cos60°

∴cos∠A1AO=

∴sin∠A1AO=

∴A1O=A1Asin∠A1AO=

∴V=SABCD·A1O=

分析二  如圖,平行六面體的對角面B1D1DB把平行六面體分割成兩個斜三棱柱,它們等底面積、等高、體積相等,考察其中之一三棱柱A1B1D1-ABD.

解法二:過B作BE⊥A1A,連結(jié)DE,可知面BDE是其直截面,把斜三棱柱分割成上下兩部分,若把兩部分重新組合,讓面A1D1B1與面ADB重合,則得到一直棱柱,ΔBDE是其底面,DD1是其側(cè)棱,并且和斜三棱柱A1B1D1-ABD的體積相等.

取BD中點O,連結(jié)OE,易知

SΔBEDBD·OE=BD·

··

∴V直棱柱=SΔDEB·DD1

×2=

=2

點評  在解決體積問題時,“割”“補”是常用的手段,另外本題分析二給出了求斜棱柱體積的另一方法:斜棱柱的體積=直截面面積×側(cè)棱長.

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454.  如圖,已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1,E、F分別在棱AB、BC上,G在對角線BD1上,且AE=,BF=,D1G∶GB=1∶2,求平面EFG與底面ABCD所成的二面角的大小.

解析:設(shè)G在底面ABCD上的射影為H,H∈BD,

∴GH=

作HM⊥EF于M,連GM,由三垂線定理知GM⊥EF,則∠GMH=θ就是平面BFG與底面ABCD所成的二面角的平面角,tanθ=.

下面求HM的值.

建立如圖所示的直角坐標系,據(jù)題設(shè)可知.

H()、E(,0)、F(1,)

∴直線EF的方程為

,

即  4x-6y-1=0.

由點到直線的距離公式可得

|HM|=

∴tgθ=·,θ=arctg.

說明  運用解析法來求HM的值是本例的巧妙所在.

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453. 在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中,P是A1B1上的一動點,平面PAD1和平面PBC1與對角面ABC1D1所成的二面角的平面角分別為α、β,試求α+β的最大值和最小值.

解析:如圖.對角面A1B1CD⊥對角面ABC1D1,其交線為EF.過P作PQ⊥EF于Q,則PQ⊥對角面ABC1D1.分別連PE、PF.

∵EF⊥AD1,PE⊥AD1(三垂線定理).故由二面角的平面角定義知  ∠PFQ=α,

同理,∠PFQ=β.

設(shè)A1P=x,(0≤x≤1),則PB1=1-x.

∵EQ=A1P,QF=PB1,PQ=,

∴當0<x<1時,有

tanα=,tanβ=,

∴tan(α+β)=

而當x=0時α=,tan(α+β)=tan(+β)=-cotβ=-=-,上式仍成立;類似地可以驗證.當x=1時,上式也成立,于是,當x=時,tan(α+β)取最小值-2;當x=0或1時,tan(α+β)取最大值-.

又∵  0<α+β<π,

∴(α+β)max=π-arctan

(α+β)min=π-arctan2

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