高三數(shù)學同步檢測(六)
極限
說明:本試卷分為第Ⅰ、Ⅱ卷兩部分,請將第Ⅰ卷選擇題的答案填入題后括號內,第Ⅱ卷可在各題后直接作答.共100分,考試時間90分鐘.
第Ⅰ卷(選擇題共40分)
一、選擇題(本大題共10小題,每小題4分,共40分)
1.下列無窮數(shù)列中,極限不存在的數(shù)列是( )
A.1,,,,,…
B.3,3,3,3,…,3,…
C.3,,,…,,…
D.1,0,-1,0,…,,…
分析 本題考查常見數(shù)列的極限.
解 ∵(-1)n+1?=0,3=3,
=()=2,
∴A、B、C存在極限.
而D是一擺動數(shù)列,不存在極限.
答案 D
2.若an=3且bn=-1,那么(an+bn)2等于( )
A.4
B.
分析 本題考查數(shù)列極限的運算法則,即如果兩個數(shù)列都有極限,那么它們的和、差、積、商的極限分別等于它們極限的和、差、積、商.
解 (an+bn)2=(an2+2anbn+bn2)
=an2+2an?bn+bn2
=32+2×3×(-1)+(-1)2=4.
答案 A
3.若在x=2處連續(xù),則實數(shù)a、b的值是( )
A.-1,2
B.0,
分析 本題考查函數(shù)的左、右極限與函數(shù)極限的關系、函數(shù)連續(xù)的概念及它們之間的關系.
解 f(x)在x=2處連續(xù)
∵f(x)=(x2+a)=4+a=4,∴a=0.
f(x)=(x+b)=2+b=4,∴b=2.
答案 B
4.等差數(shù)列{an}、{bn}的前n項和分別為Sn和Tn,若則的值等于( )
A.1 B. C. D.
分析 本題考查當n→∞時數(shù)列的極限.解題的關鍵是把結論中通項的比值用條件中前n項和的比值表示出來,即把轉化成關于n的多項式.
解法一 設Sn=kn?2n,Tn=kn(3n+1)(k為非零常數(shù)).
由an=Sn-Sn-1(n≥2),
得an=2kn2-2k(n-1)2=4kn-2k,
bn=kn(3n+1)-k(n-1)[3(n-1)+1]=6kn-2k.
∴=
解法二 ∵=
又∵
∴
∴
答案 C
5.若則常數(shù)k的值為( )
A.2 B. C.-2 D.-
解析 原式=
∵∴k=.
答案 B
6.的值為( )
A.3 B.
分析 本題考查函數(shù)在x→x0處的極限值.如果把x=x0代入函數(shù)解析式,解析式有意義,那么f(x0)的值就是函數(shù)的極限值.
解
答案 B
7.函數(shù)f(x)= 的不連續(xù)點是( )
A.x=2 B.x=-2
C.x=2和x=-2 D.x=4
分析 本題考查函數(shù)的連續(xù)性.一般地,函數(shù)f(x)在點x=x0處連續(xù)必須滿足下面三個條件:
(1)函數(shù)f(x)在點x=x0處有定義;
(2)存在;
(3),即函數(shù)f(x)在點x0處的極限值等于這一點的函數(shù)值.
解 因函數(shù)在x=±2時無定義,所以不連續(xù)點是x=±2.
答案 C
8等于( )
A. B. C. D.1
分析 由于“和的極限等于極限的和”只能用于有限多項相加,因此,對于本題應先求和化為有限項的算式,再運用極限的運算法則求極限.
解 ∵
∴原式=
答案 B
9.★已知一個數(shù)列的通項公式為f(n),n∈N*,若
A. B. C.-7 D.-
分析 本題考查當n→∞時數(shù)列的極限.關鍵是先求出數(shù)列的通項公式f(n),然后求其前n項和,把待求極限式化成有限項形式,即化成關于n的多項式,再求極限.
解 ∵f(1)=3≠0,∴
∴數(shù)列為首項為3,公比為的等比數(shù)列.
∴f(n)=3?()n-1.
由公比不為1的等比數(shù)列的前n項和公式,得
Sn=
∴
答案 A
10.(2x+1)n=0成立的實數(shù)x的范圍是( )
A.x=- B.-<x<0
C.-1<x<0 D.-1<x≤0
分析本題考查數(shù)列的一個重要極限,即limn→∞an=0時,有|a|<1.
解 要使(2x+1)n=0,只需|2x+1|<1,即-1<2x+1<1.解得-1<x<0.
答案 C
第Ⅱ卷(非選擇題共60分)
二、填空題(本大題共4小題,每小題4分,共16分.把答案填在橫線上)
11. .
分析 當n無限增大時, 的分子中含無限多項,而“和的極限等于極限的和”只能用于有限多項相加.因此應先將分子化為只含有限多項的算式,然后再運用極限的運算法則求極限.
解 原式=
答案 1
12. .
分析 本題考查當x→x0時函數(shù)的極限.若把x=1代入分子、分母中,分式變成“”型,不能直接求極限,因此可把分子、分母分別進行因式分解,約去分子、分母中的“零因式”,然后再代入求極限.
解
答案
13.★一個熱氣球在第一分鐘時間里上升了
解析 由題意,該熱氣球在第一分鐘,第二分鐘,…,上升的高度組成首項為25,公比為的等比數(shù)列,它上升的最大高度S=Sn=
答案 125
14. .
分析 本題考查qn=0,|q|<1的應用.因為當n→∞時,構成該式的四項均沒有極限,故應將分子、分母同時除以底數(shù)最大、次數(shù)較高的項3n,以期轉化成每一項都有極限的形式,再運用極限的運算法則求解.
解
答案
三、解答題(本大題共5小題,共44分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟)
15.(本小題滿分8分)討論函數(shù)在x=2處的左極限、右極限以及在x=2處的極限.
分析 本題考查函數(shù)在某一點處的極限,左、右極限的定義及其相互關系.
對于常見函數(shù),可先畫出它的圖象,觀察函數(shù)值的變化趨勢,利用極限的定義確定各種極限.
解 當x→2-時,函數(shù)無限接近于0,
即 3分
當x→2+時,函數(shù)無限接近于2,
即
綜上,可知≠, 6分
∴函數(shù)f(x)在x=2處極限不存在. 8分
16.(本小題滿分8分)已知數(shù)列{an}中,an=Sn為其前n項的和,求的值.
分析 由于中是無窮項和的極限,必須先求得和的化簡式,轉化為有限項的極限問題.
而是一類裂項后有明顯相消項的數(shù)列,所以采用了裂項法.但相消時應注意消去項的規(guī)律,即消去了哪些項,保留了哪些項.
解
∴ 8分
17.(本小題滿分8分)如圖,已知Rt△ABC中,∠B=90°,tanC=0.5,AB=1,在△ABC內有一系列正方形,求所有這些正方形面積之和.
分析 本題考查等比數(shù)列前n項和的極限.
解 設正方形BD1C1B1、D1D2C2B2、…的邊長分別為a1,a2,….
∵AB=1,tanC=0.5,∴BC=2.
由相似三角形的知識可得,
∴a1=.同理,可得a2=a1,…,an=an-1.
∴{an}是以為首項,以為公比的等比數(shù)列. 3分
設{Sn}是第n個正方形的面積,則Sn是以為首項, 為公比的等比數(shù)列. 4分
∴(S1+S2+…+Sn)=
即所有這些正方形面積之和為. 8分
18.★(本小題滿分10分)已知等差數(shù)列{an}的前三項為a,4,
(1)求a及k的值;
(2)求的值.
解 (1)∵a+3a=2×4,∴a=2.
∴數(shù)列{an}是首項為2,公差為2的等差數(shù)列. 2分
∵2k+×2=2550,∴k=50,
即a、k的值分別為2、50. 5分
(2)∵Sn=2n+×2=n2+n,
∴
∴
∴
19.★(本小題滿分10分)已知求m、n的值.
分析 本題考查當x→x0時,函數(shù)的極限.關鍵是通過極限的運算構造方程組,求m、n.
由可知x2+mx+2含有x+2這一因式,∴x=-2為方程x2+mx+2=0的根.
∴m=3,代入進而可求得n.
也可由得
解出m,再求n.
解法一 ∵
∴x=-2為方程x2+mx+2=0的根.
∴m=3. 4分
又
∴n=-1. 9分
∴m=3,n=-1. 10分
∴(-2)2+(-2)m+2=0,m=3.
同上可得n=-1.
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