8．“a>b，b>c”是“a>c”的( )

7．“x=1”是“x²-2x+1=0”的( )

6．“|x|>1”是“x>1”的( )

5．“a>b”是“a+c>b+c”的( )

4．“a>b”是“ac²>bc²”的( )

3．“a=b”是“ac=bc”的( )

2．“a>b”是“a²>b²”的( )

1．“x>-1”是“x>1”的( )

7．充要條件

　　 (1)對充要條件的理解

　　 對于命題“若p則q”，即p是條件，q為結(jié)論．

　　 ①如果由pq，則p是q的充分條件

　　 ②如果由qp，則p是q的必要條件

　　 ③如果pq，則p是q的充要條件，q也是p的充要條件

　　 如x>0是x²>0的充分條件；x²>0是x>0的必要條件；x≠0是x²>0的充要條件，x²>0也是x≠0的充要條件，

充要條件是相互的．

　　 (2)充要條件的判斷．

　　 充要條件的判斷主要以選擇題形式出現(xiàn)，

　　 如在△ABC中，A>B是a>b的 ( )

　　 A．充分條件 B．必要條件

　　 C．充要條件 D．非充分非必要條件　　　　 本題選(C)

　　 ①直接用充要條件定義判斷

　　 ②借助四種命題之間的關(guān)系間接判斷，如所給命題的條件不易判斷，我們可以轉(zhuǎn)化為判斷它的逆否命題

的條件，因?yàn)樵�命題與其逆否命題是等價(jià)的，即同真或同假．反證法就是一種間接法．

例題分析：

第一階梯

　 例1．分別指出下列復(fù)合命題的形式及構(gòu)成它的簡單命題：

　　 ①1既不是質(zhì)數(shù)，也不是合數(shù)；

　　 ②0不是奇數(shù)；

　　 ③斜三角形的內(nèi)角是銳角或是鈍角．

　　 解：①這個(gè)命題是p且q的形式，其中p：1不是質(zhì)數(shù)；q：1不是合數(shù)

　　　　 ②這個(gè)命題是非p的形式，其中p：0是奇數(shù)

　　　　 ③這個(gè)命題是p或q的形式，其中p：斜三角的內(nèi)角是銳角，q：斜三角形的內(nèi)角是鈍角．

　 反思回顧：在①中，p和q兩個(gè)命題還是非p形式的．

　 例2． 選擇題

6．反證法

　　 ①反證法的理論根據(jù)是：原命題為真，則它的逆否命題也為真．在直接證明原命題有困難時(shí)，就可轉(zhuǎn)化

為證明它的逆否命題成立．

　　 ②用反證法證明命題的一般步驟是

　　 第一步：假設(shè)命題的結(jié)論不成立，即假設(shè)結(jié)論的反面成立；

　　 第二步：從這個(gè)假設(shè)出發(fā)，經(jīng)過推理論證，得出矛盾：

　　 第三步：由矛盾判定假設(shè)不正確，從而肯定命題的結(jié)論正確．

　　 ③一般地來說，在什么條件下(或問題中)想到用反證法來證明，下面提供幾種情形作為參考．

　　 第一，問題共計(jì)有n種情況，現(xiàn)要證明其中一種情況成立時(shí)，可想到用反證法證明把其他的n-1種情況都

排除，從而確定這種情況成立．

　　 如，要證明兩條直線相交，可用反證法證明這兩條直線平行不成立，因?yàn)樵谕�一平面�?nèi)，兩條直線的位

置關(guān)系是平行或相交，平行不成立，那么間接證明了兩條直線相交；

　　 第二，命題用否定形式敘述的，如證明2不是方程2x+1=0的根，可用反證法證明，假設(shè)2是方程2x+1=0的

根，則2×2+1應(yīng)等于0，而2×2+1=5，產(chǎn)生矛盾，從而確定2不是方程2x+1=0的根成立；

　　 第三，命題用“至少”的字樣敘述時(shí)，可用反證法證明，如證明a≠b，b≠c至少有一個(gè)成立，那我們可

用反證法證明如下：假設(shè)a≠b，b≠c都不成立，即a=b且b=c，從這一條件出發(fā)推得矛盾，a=b，且b=c不成

立，因此，a≠b，b≠c至少有一個(gè)成立；

　　 第四，當(dāng)命題成立非常明顯，要直接證明，所用的理論不少，但不容易說明白，而它的逆否命題易證，

如上面的例子，證明兩條直線相交的依據(jù)幾乎沒有，而證明平行線有很多性質(zhì)，易于推理，因此，用反證法

把證明兩條直線相交問題轉(zhuǎn)化到平行的性質(zhì)．