題目列表(包括答案和解析)
14.設(shè)實(shí)數(shù)x, y滿足 .
13.若函數(shù)是奇函數(shù),則a= .
22、解:
(1) 將條件變?yōu)椋?-=,因此{(lán)1-}為一個(gè)等比數(shù)列,其首項(xiàng)為
1-=,公比,從而1-=,據(jù)此得an=(n³1)…………1°
(2) 證:據(jù)1°得,a1·a2·…an=
為證a1·a2·……an<2·n!
只要證nÎN*時(shí)有>…………2°
顯然,左端每個(gè)因式都是正數(shù),先證明,對(duì)每個(gè)nÎN*,有
³1-()…………3°
用數(shù)學(xué)歸納法證明3°式:
(i) n=1時(shí),3°式顯然成立,
(ii) 設(shè)n=k時(shí),3°式成立,
即³1-()
則當(dāng)n=k+1時(shí),
³(1-())·()
=1-()-+()
³1-(+)即當(dāng)n=k+1時(shí),3°式也成立。
故對(duì)一切nÎN*,3°式都成立。
利用3°得,³1-()=1-
=1->
故2°式成立,從而結(jié)論成立。
b2(x1-x2)2x+a2(y1-y2)2y=0
\b2x2+a2y2-b2cx=0…………(3)
2°當(dāng)AB垂直于x軸時(shí),點(diǎn)P即為點(diǎn)F,滿足方程(3)
故所求點(diǎn)P的軌跡方程為:b2x2+a2y2-b2cx=0
(2)因?yàn)椋瑱E圓 Q右準(zhǔn)線l方程是x=,原點(diǎn)距l
的距離為,由于c2=a2-b2,a2=1+cosq+sinq,b2=sinq(0<q£)
則==2sin(+)
當(dāng)q=時(shí),上式達(dá)到最大值。此時(shí)a2=2,b2=1,c=1,D(2,0),|DF|=1
設(shè)橢圓Q:上的點(diǎn) A(x1,y1)、B(x2,y2),三角形ABD的面積
S=|y1|+|y2|=|y1-y2|
設(shè)直線m的方程為x=ky+1,代入中,得(2+k2)y2+2ky-1=0
由韋達(dá)定理得y1+y2=,y1y2=,
4S2=(y1-y2)2=(y1+y2)2-4 y1y2=
令t=k2+1³1,得4S2=,當(dāng)t=1,k=0時(shí)取等號(hào)。
因此,當(dāng)直線m繞點(diǎn)F轉(zhuǎn)到垂直x軸位置時(shí),三角形ABD的面積最大。
22、(本大題滿分14分)
已知數(shù)列{an}滿足:a1=,且an=
(1) 求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2) 證明:對(duì)于一切正整數(shù)n,不等式a1·a2·……an<2·n!
21、解:如圖,(1)設(shè)橢圓Q:(a>b>0)
上的點(diǎn)A(x1,y1)、B(x2,y2),又設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為P(x,y),則
1°當(dāng)AB不垂直x軸時(shí),x1¹x2,
21、(本大題滿分12分)
如圖,橢圓Q:(a>b>0)的右焦點(diǎn)F(c,0),過點(diǎn)F的一動(dòng)直線m繞點(diǎn)F轉(zhuǎn)動(dòng),并且交橢圓于A、B兩點(diǎn),P是線段AB的中點(diǎn)
(1) 求點(diǎn)P的軌跡H的方程
(2) 在Q的方程中,令a2=1+cosq+sinq,b2=sinq(0<q£ ),確定q的值,使原點(diǎn)距橢圓的右準(zhǔn)線l最遠(yuǎn),此時(shí),設(shè)l與x軸交點(diǎn)為D,當(dāng)直線m繞點(diǎn)F轉(zhuǎn)動(dòng)到什么位置時(shí),三角形ABD的面積最大?
20、解法一:
(1) 方法一:作AH^面BCD于H,連DH。
AB^BDÞHB^BD,又AD=,BD=1
\AB==BC=AC \BD^DC
又BD=CD,則BHCD是正方形,則DH^BC\AD^BC
方法二:取BC的中點(diǎn)O,連AO、DO
則有AO^BC,DO^BC,\BC^面AOD
\BC^AD
(2) 作BM^AC于M,作MN^AC交AD于N,則ÐBMN就是二面角B-AC-D的平面角,因?yàn)锳B=AC=BC=\M是AC的中點(diǎn),且MN¤¤CD,則BM=,MN=CD=,BN=AD=,由余弦定理可求得cosÐBMN=
\ÐBMN=arccos
(3) 設(shè)E是所求的點(diǎn),作EF^CH于F,連FD。則EF¤¤AH,\EF^面BCD,ÐEDF就是ED與面BCD所成的角,則ÐEDF=30°。設(shè)EF=x,易得AH=HC=1,則CF=x,F(xiàn)D=,\tanÐEDF===解得x=,則CE=x=1
故線段AC上存在E點(diǎn),且CE=1時(shí),ED與面BCD成30°角。
解法二:此題也可用空間向量求解,解答略
20、(本小題滿分12分)
如圖,在三棱錐A-BCD中,側(cè)面ABD、ACD
是全等的直角三角形,AD是公共的斜邊,
且AD=,BD=CD=1,另一個(gè)側(cè)面是正三角形
(1) 求證:AD^BC
(2) 求二面角B-AC-D的大小
(3) 在直線AC上是否存在一點(diǎn)E,使ED與面BCD
成30°角?若存在,確定E的位置;若不存在,說明理由。
19、(本小題滿分12分)
如圖,已知△ABC是邊長為1的正三角形,M、N分別是
邊AB、AC上的點(diǎn),線段MN經(jīng)過△ABC的中心G,
設(shè)ÐMGA=a()
(1) 試將△AGM、△AGN的面積(分別記為S1與S2)
表示為a的函數(shù)
(2) 求y=的最大值與最小值
解:(1)因?yàn)镚是邊長為1的正三角形ABC的中心,
所以 AG=,ÐMAG=,
由正弦定理,得
則S1=GM·GA·sina=,
同理可求得S2=.
(2)y==
=72(3+cot2a)因?yàn)?sub>,所以當(dāng)a=或a=時(shí),y取得最大值ymax=240
當(dāng)a=時(shí),y取得最小值ymin=216
18、(本小題滿分12分)
某商場舉行抽獎(jiǎng)促銷活動(dòng),抽獎(jiǎng)規(guī)則是:從裝有9個(gè)白球,1個(gè)紅球的箱子中每次隨機(jī)地摸出一個(gè)球,記下顏色后放回,摸出一個(gè)紅球可獲得獎(jiǎng)金10元;摸出2個(gè)紅球可獲得獎(jiǎng)金50元,現(xiàn)有甲,乙兩位顧客,規(guī)定:甲摸一次,乙摸兩次,令x表示甲,乙摸球后獲得的獎(jiǎng)金總額。求:
(1)x的分布列 (2)x的的數(shù)學(xué)期望
解:(1)x的所有可能的取值為0,10,20,50,60
分布列為
x |
0 |
10 |
20 |
50 |
60 |
P |
|
|
|
|
|
(2)Ex=3.3
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