4、已知兩個體積不同的圓柱,高相等,它們的底面半徑的比是1∶2,那么它們的體積的比是　　　 　　

3、一個圓錐的體積是a立方米，則和它等底等高的圓柱體的體積是(　 )立方米。

　　 A. 　　　　B.　 2a　　 C.　 3a 　　　D.

2、甲乙兩人分別利用一張長20厘米，寬15厘米的紙，用兩種不同的方法圍成一個圓柱體(接頭處不重疊)，那么圍成的圓柱(　　 )。

A.體積相等　　 　　　　　　　　B.用20厘米作為高的體積大

C. 用15厘米作為高的體積大　　 D. 無法比較

1、甲乙兩人分別利用一張長20厘米，寬15厘米的紙，用兩種不同的方法圍成一個圓柱體(接頭處不重疊)，那么圍成的圓柱(　　 )。

A.高一定相等　　 　　　　　　B.側(cè)面積一定相等　

　C. 側(cè)面積和高都相等　　 　　　D. 側(cè)面積和高都不相等

例1:圓錐底面半徑為10，母線長為60，底面圓周上一點(diǎn)B沿側(cè)面繞兩周回到B點(diǎn)那么最短距離為

例2:已知一個圓錐的底面半徑為R，高為H，在其中有一個高為x的內(nèi)接圓柱．

(1)求圓柱的側(cè)面積；

(2)x為何值時，圓柱的側(cè)面積最大？

分析：(1)首先要畫出圓錐的軸截面△OAB，那么內(nèi)接圓柱的軸截面為矩形CDEF，因?yàn)閮?nèi)接圓柱的高知道為x，故關(guān)鍵求r，怎樣求r？(生：

例3:如圖，圓柱的軸截面ABCD是正方形，點(diǎn)E在底面的圓周上，AF⊥DE，F(xiàn)是垂足． 　　(1)求證：AF⊥DB； 　　(2)如果圓柱與三棱錐D-ABE的體積的比等于3π，求直線DE與平面ABCD所成的角．

　 　　解析 本題中，圓柱是“外包裝”，三棱錐D-ABE是“骨架”，核心問題是平面和平面、直線和平面、直線和直線的位置關(guān)系．解答過程中多次考查各種垂直關(guān)系的性質(zhì)和判定，還有角的計(jì)算． 　　證明(1)DA⊥平面ABE，∴DA⊥BE，又AE⊥BE，∴BE⊥平面ADE， 　　 ∴DE是直線DB在平面ADE內(nèi)的射影，由AF⊥DE及三垂線定理，知AF⊥DB． 　　(2)過E作EH⊥AB，H是垂足，連結(jié)OH，由平面ABCD⊥平面ABE，知EH⊥平面ABCD，則∠EDH為直線DE與平面ABCD所成的角． 　　設(shè)圓柱底面半徑為R，則DA=AB=2R，于是，　 　　依題意：，得EH=R， 　　可知H是圓柱底面的圓心，∴AH=R，則， 　　∴，故所求角為．

例4: 設(shè)圓錐底面圓周上兩點(diǎn)A，B間的距離為2，圓錐頂點(diǎn)到直線AB的距離為，AB和圓錐的軸的距離為1，則該圓錐的體積為___________．

解析　 本題考查直線與直線的位置關(guān)系及圓錐體積公式的應(yīng)用．

如圖，依題意，有AB=2，SO⊥底面圓O，SC⊥AB于C，則SC=，∴OC⊥AB，則OC=1 ∴SO=，OA= 　　∴

例5. 已知圓錐底面直徑AB=2，軸截面∠APB=90°，底面半徑OC⊥AB

(1)求二面角B-PA-C的正切值

(2)求圓錐內(nèi)接圓柱的最大側(cè)面積及相應(yīng)的高

10． 在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB₁⊥BC₁，AB=CC₁=a，BC=b.

(1)設(shè)E、F分別為AB₁、BC₁的中點(diǎn)，求證：EF∥平面ABC；

(2)求證：A₁C₁⊥AB；

(3)求點(diǎn)B₁到平面ABC₁的距離.

(1)證明：∵E、F分別為AB₁、BC₁的中點(diǎn)，

∴EF∥A₁C₁.∵A₁C₁∥AC，∴EF∥AC.　

　∴EF∥平面ABC.

(2)證明：∵AB=CC₁，

∴AB=BB₁.又三棱柱為直三棱柱，

∴四邊形ABB₁A₁為正方形.連結(jié)A₁B，則A₁B⊥AB₁.

又∵AB₁⊥BC₁，

∴AB₁⊥平面A₁BC₁.　 ∴AB₁⊥A₁C₁.

又A₁C₁⊥AA₁，

∴A₁C₁⊥平面A₁ABB₁.　 ∴A₁C₁⊥AB.

(3)解：∵A₁B₁∥AB，∴A₁B₁∥平面ABC₁.

∴A₁到平面ABC₁的距離等于B₁到平面ABC₁的距離.過A₁作A₁G⊥AC₁于點(diǎn)G，　

　∵AB⊥平面ACC₁A₁，

∴AB⊥A₁G.從而A₁G⊥平面ABC₁，故A₁G即為所求的距離，即A₁G=.

評述：本題(3)也可用等體積變換法求解.

[探索題](2004年春季上海)如下圖，點(diǎn)P為斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁的側(cè)棱BB₁上一點(diǎn)，PM⊥BB₁交AA₁于點(diǎn)M，PN⊥BB₁交CC₁于點(diǎn)N.

(1)求證：CC₁⊥MN；

(2)在任意△DEF中有余弦定理：DE²=DF²+EF²－2DF·EFcos∠DFE.拓展到空間，類比三角形的余弦定理，寫出斜三棱柱的三個側(cè)面面積與其中兩個側(cè)面所成的二面角之間的關(guān)系式，并予以證明.

(1)證明：∵CC₁∥BB₁CC₁⊥PM，CC₁⊥PN，

∴CC₁⊥平面PMNCC₁⊥MN.

(2)解：S²=S²+S² －2S·Scosα，

其中α為平面CC₁B₁B與平面CC₁A₁A所成的二面角.

∵CC₁⊥平面PMN，∴上述的二面角為∠MNP.

在△PMN中,

PM²=PN²+MN²－2PN．MNcos∠MNP

PM²CC₁²=PN²CC₁²+MN²CC₁²

－2(PN·CC₁)·(MN·CC₁)cos∠MNP.

∵=PN·CC₁，=MN·CC₁，

S=PM·BB₁，

∴S²=S²+S²－

2S·Scosα

9.正方形ABCD中，AB=2，E是AB邊的中點(diǎn)，F是BC邊上一點(diǎn)，將△AED及△DCF折起(如下圖)，使A、C點(diǎn)重合于A′點(diǎn).

(1)證明：A′D⊥EF；

(2)當(dāng)F為BC的中點(diǎn)時，求A′D與平面DEF所成的角；

(3)當(dāng)BF=BC時，求三棱錐A′-EFD的體積.

(1)證明：略

(2)解：取EF的中點(diǎn)G，連結(jié)A′G、DG…………

平面DEF⊥平面A′DG.

作A′H⊥DG于H，得A′H⊥平面DEF，

∴∠A′DG為A′D與平面DEF所成的角.

在Rt△A′DG中，A′G=，

A′D=2， ∴∠A′DG=arctan.

　(3)解：∵A′D⊥平面A′EF，

∴A′D是三棱錐D-A′EF的高.

又由BE=1，BF=推出EF=，可得S=，

V_A′－EFD=V_D－A′EF=·S·A′D

=··2=.

8．(2006福建)　　 如圖，四面體ABCD中，O、E分別是BD、BC的中點(diǎn)，

(I)求證：平面BCD；

(II)求異面直線AB與CD所成角的大��；

(III)求點(diǎn)E到平面ACD的距離.

解法一：

(I)證明:證∠AOB=90⁰.

(II)解：取AC的中點(diǎn)M，連結(jié)OM、ME、OE，由E為BC的中點(diǎn)知

直線OE與EM所成的銳角就是異面直線AB與CD所成的角. 在中，

是直角斜邊AC上的中線，

AB與CD所成角的大小為

(III)等積法得

即為所求.

7．如圖ABCD是矩形，PA^平面ABCD，DPAD是等腰三角形，M、N分別是AB、PC的中點(diǎn)，求證：MN^平面PCD

證略