[例1]AD為△ABC中BC邊上的高，在AD上取一點(diǎn)E，使AE=DE，過E點(diǎn)作直線MN∥BC，交AB于M，交AC于N，現(xiàn)將△AMN沿MN折起，這時A點(diǎn)到A¢點(diǎn)的位置，且ÐA¢ED=60°，求證：A¢E⊥平面A¢BC.

[例2]如圖，P為△ABC所在平面外一點(diǎn)，PA⊥平

面ABC，∠ABC=90°，AE⊥PB于E，AF⊥PC于F，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

求證：

(1)BC⊥平面PAB；　

(2)AE⊥平面PBC；

(3)PC⊥平面AEF.　　　　　　　　　　　　　　　　　　

證明：(1)PA⊥平面ABC

BC⊥平面PAB.

AB⊥BC

PA∩AB=A　　　　

(2)AE平面PAB，

AE⊥平面PBC.

　　　　　 AE⊥PB

　　　　 PB∩BC=B

(3)PC平面PBC，

PC⊥平面AEF.

　　 　　　PC⊥AF

　　　　 AE∩AF=A

[例3]如圖，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，ÐACB=90°,AC=1,CB=，側(cè)棱AA₁=1，側(cè)面A A₁ B₁B的兩條對角線交于點(diǎn)D，B₁C₁的中點(diǎn)為M，

求證：CD^平面BDM

證明：在直三棱柱中，又

∴平面，

∵，∴，

∴，

連結(jié)，則上的射影,也是CD的射影

在中，

在中，，

∴, ∴，

∴，

∴平面.

◆總結(jié)提練： 證線面垂直, 要注意線線垂直與線面垂直關(guān)系與它之間的相互轉(zhuǎn)化

證線線垂直常用余弦定理、勾股定理逆定理,三垂線定理或通過線面垂直.

[例4](2006浙江)如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，，， 底面，

且，分別為、的中點(diǎn).

(Ⅰ)求證：；

(Ⅱ)求與平面所成的角.

解：(I)∵是的中點(diǎn)，，∴.

∵平面，∴，從而平面.

∵平面，∴.

(II)取的中點(diǎn)，連結(jié)、，則，

∴與平面所成的角和與面所成的角相等.

∵平面，

∴NG是BG在面ADMN內(nèi)的射影,

是與平面所成的角.

在中，.

故與平面所成的角是.

6. .CD⊥平面α時射影面積最小；CD//α時射影面積最大.

6．(2006浙江)正四面體ABCD的棱長為l，棱AB∥平面，則正四面體上的所有點(diǎn)在平面α內(nèi)的射影構(gòu)成的圖形面積的取值范圍是______.

◆答案提示：1-3.DBDA;　 5. a∥d;

5．直線a,b,c 是兩兩互相垂直的異面直線，直線 d是b和c的公垂線，則d和a 的位置關(guān)系是______________.

4.已知P為Rt△ABC所在平面外一點(diǎn)，且PA=PB=PC，D為斜邊AB的中點(diǎn)，則直線PD與平面ABC.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　 )

A．垂直　　　 B.斜交　　 C.成60⁰角　　 D.與兩直角邊長有關(guān)

3.直角△ABC的斜邊BC在平面a內(nèi)，頂點(diǎn)A在平面a外，則△ABC的兩條直角邊在平面a內(nèi)的射影與斜邊BC組成的圖形只能是　　　　　　　　　 (　 )

A.一條線段　　　 B.一個銳角三角形　

C.一個鈍角三角形　 D.一條線段或一個鈍角三角形

2.如果直線l⊥平面a，

①若直線m⊥l,則m∥a；　 ②若m⊥a,則m∥l；

③若m∥a,則m⊥l；　　　 ④若m∥l,則m⊥a,

上述判斷正確的是　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　 )

A.①②③　　　 B.②③④　　

　C.①③④　　　 D.②④

1.已知a，b，c是直線，a，b是平面，下列條件中，能得出直線a⊥平面a的是(　 )

A.a⊥c,a⊥b，其中bÌa,cÌa　　　 B.a⊥b,b∥a

C.a⊥b，a∥b　　　　　　　　　　 D.a∥b,b⊥a

6．三垂線定理：　

平面內(nèi)的直線，如果和這個平面的一條斜線的射影垂直，那么它也和斜線垂直。

三垂線定理的逆定理：

平面內(nèi)的直線，如果和這個平面的一條斜線垂直，那麼它也和這條斜線的射影垂直

用途：判定線線垂直=>線面垂直，二面角的平面角.

5．斜線、射影、直線和平面所成的角：定義--

性質(zhì)：從平面外一點(diǎn)向平面所引的垂線段和斜線段中

(1)垂線段最短；

(2)斜線段相等<=>射影相等；

(3)斜線段較長(短)<=>射影較長(短).