例1．已知數(shù)列{a}是公差d≠0的等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為S．

(2)過(guò)點(diǎn)Q(1，a)，Q(2，a)作直線12，設(shè)l與l的夾角為θ，

證明：(1)因?yàn)榈炔顢?shù)列{a}的公差d≠0，所以

Kpp是常數(shù)(k=2，3，…，n)．

(2)直線l的方程為y-a=d(x-1)，直線l的斜率為d．

例2．已知數(shù)列中，是其前項(xiàng)和，并且，

⑴設(shè)數(shù)列，求證：數(shù)列是等比數(shù)列；

⑵設(shè)數(shù)列，求證：數(shù)列是等差數(shù)列；

⑶求數(shù)列的通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和。

分析：由于{b}和{c}中的項(xiàng)都和{a}中的項(xiàng)有關(guān)，{a}中又有S=4a+2，可由S-S作切入點(diǎn)探索解題的途徑．

解：(1)由S=4a，S=4a+2，兩式相減，得S-S=4(a-a)，即a=4a-4a．(根據(jù)b的構(gòu)造，如何把該式表示成b與b的關(guān)系是證明的關(guān)鍵，注意加強(qiáng)恒等變形能力的訓(xùn)練)

a-2a=2(a-2a)，又b=a-2a，所以b=2b　　 ①

已知S=4a+2，a=1，a+a=4a+2，解得a=5，b=a-2a=3　 ②

由①和②得，數(shù)列{b}是首項(xiàng)為3，公比為2的等比數(shù)列，故b=3·2．

當(dāng)n≥2時(shí)，S=4a+2=2(3n-4)+2；當(dāng)n=1時(shí)，S=a=1也適合上式．

綜上可知，所求的求和公式為S=2(3n-4)+2．

說(shuō)明：1．本例主要復(fù)習(xí)用等差、等比數(shù)列的定義證明一個(gè)數(shù)列為等差，等比數(shù)列，求數(shù)列通項(xiàng)與前項(xiàng)和。解決本題的關(guān)鍵在于由條件得出遞推公式。

2．解綜合題要總攬全局，尤其要注意上一問(wèn)的結(jié)論可作為下面論證的已知條件，在后面求解的過(guò)程中適時(shí)應(yīng)用．

例3．(04年浙江)設(shè)數(shù)列{a_n}的前項(xiàng)的和S_n=(a_n-1) (n₊),(1)求a_1;a_2; (2)求證數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列。

解: (Ⅰ)由,得 ∴ 又,即,得.

　　 (Ⅱ)當(dāng)n>1時(shí),

　　 得所以是首項(xiàng),公比為的等比數(shù)列.

例4、(04年重慶)設(shè)a₁=1,a₂=,a_n+2=a_n+1-a_n (n=1,2,---),令b_n=a_n+1-a_n (n=1,2---)求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式，(2)求數(shù)列{na_n}的前n項(xiàng)的和S_n。

　　　 解：(I)因

故{b_n}是公比為的等比數(shù)列，且

　　　 (II)由

　　　 注意到可得

　　　 記數(shù)列的前n項(xiàng)和為T_n，則

例5．在直角坐標(biāo)平面上有一點(diǎn)列，對(duì)一切正整數(shù)，點(diǎn)位于函數(shù)的圖象上，且的橫坐標(biāo)構(gòu)成以為首項(xiàng)，­為公差的等差數(shù)列。

⑴求點(diǎn)的坐標(biāo)；

⑵設(shè)拋物線列中的每一條的對(duì)稱軸都垂直于軸，第條拋物線的頂點(diǎn)為，且過(guò)點(diǎn)，記與拋物線相切于的直線的斜率為，求：。

⑶設(shè)，等差數(shù)列的任一項(xiàng)，其中是中的最大數(shù)，，求的通項(xiàng)公式。

解：(1)

(2)的對(duì)稱軸垂直于軸，且頂點(diǎn)為.設(shè)的方程為：

把代入上式，得，的方程為：。

，

=

(3)，

T中最大數(shù).

設(shè)公差為，則，由此得

說(shuō)明：本例為數(shù)列與解析幾何的綜合題，難度較大(1)、(2)兩問(wèn)運(yùn)用幾何知識(shí)算出，解決(3)的關(guān)鍵在于算出及求數(shù)列的公差。

例6．?dāng)?shù)列中，且滿足　 　

⑴求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

⑵設(shè)，求；

⑶設(shè)=，是否存在最大的整數(shù)，使得對(duì)任意，均有成立？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。

解：(1)由題意，，為等差數(shù)列，設(shè)公差為，

由題意得，.

(2)若，

時(shí)，

故 　　

(3)

若對(duì)任意成立，即對(duì)任意成立，

的最小值是，的最大整數(shù)值是7。

即存在最大整數(shù)使對(duì)任意，均有

說(shuō)明：本例復(fù)習(xí)數(shù)列通項(xiàng)，數(shù)列求和以及有關(guān)數(shù)列與不等式的綜合問(wèn)題。.

5．解綜合題的成敗在于審清題目，弄懂來(lái)龍去脈，透過(guò)給定信息的表象，抓住問(wèn)題的本質(zhì)，揭示問(wèn)題的內(nèi)在聯(lián)系和隱含條件，明確解題方向，形成解題策略．

4．?dāng)?shù)列極限的綜合題形式多樣，解題思路靈活，但萬(wàn)變不離其宗，就是離不開(kāi)數(shù)列極限的概念和性質(zhì)，離不開(kāi)數(shù)學(xué)思想方法，只要能把握這兩方面，就會(huì)迅速打通解題思路．

3．注意與之間關(guān)系的轉(zhuǎn)化。如：

=　 ，　 =．

2．在解決等差數(shù)列或等比數(shù)列的相關(guān)問(wèn)題時(shí)，“基本量法”是常用的方法，但有時(shí)靈活地運(yùn)用性質(zhì)，可使運(yùn)算簡(jiǎn)便，而一般數(shù)列的問(wèn)題常轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列求解。

1．證明數(shù)列是等差或等比數(shù)列常用定義，即通過(guò)證明 或而得。

3.數(shù)列求和的常用方法：公式法、裂項(xiàng)相消法、錯(cuò)位相減法、倒序相加法等。

2. 在等差數(shù)列中,有關(guān)的最值問(wèn)題--常用鄰項(xiàng)變號(hào)法求解：　

(1)當(dāng)>0,d<0時(shí)，滿足的項(xiàng)數(shù)m使得取最大值.

(2)當(dāng)<0,d>0時(shí)，滿足的項(xiàng)數(shù)m使得取最小值。

在解含絕對(duì)值的數(shù)列最值問(wèn)題時(shí),注意轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用。

1．判斷和證明數(shù)列是等差(等比)數(shù)列常有三種方法：

(1)定義法：對(duì)于n≥2的任意自然數(shù),驗(yàn)證為同一常數(shù)。

(2)通項(xiàng)公式法：

①若　 =　+(n-1)d=　+(n-k)d ，則為等差數(shù)列；

②若　 ，則為等比數(shù)列。

(3)中項(xiàng)公式法：驗(yàn)證中項(xiàng)公式成立。

3．培養(yǎng)學(xué)生善于分析題意，富于聯(lián)想，以適應(yīng)新的背景，新的設(shè)問(wèn)方式，提高學(xué)生用函數(shù)的思想、方程的思想研究數(shù)列問(wèn)題的自覺(jué)性、培養(yǎng)學(xué)生主動(dòng)探索的精神和科學(xué)理性的思維方法．