2．系統(tǒng)歸納求函數(shù)定義域、值域、解析式、反函數(shù)的基本方法．在熟練有關(guān)技能的同時(shí)，注意對(duì)換元、待定系數(shù)法等數(shù)學(xué)思想方法的運(yùn)用．

函數(shù)有二種定義，一是變量觀點(diǎn)下的定義，一是映射觀點(diǎn)下的定義．復(fù)習(xí)中不能僅滿足對(duì)這兩種定義的背誦，而應(yīng)在判斷是否構(gòu)成函數(shù)關(guān)系，兩個(gè)函數(shù)關(guān)系是否相同等問(wèn)題中得到深化，更應(yīng)在有關(guān)反函數(shù)問(wèn)題中正確運(yùn)用．具體要求是：

1．深化對(duì)函數(shù)概念的理解，明確函數(shù)三要素的作用，并能以此為指導(dǎo)正確理解函數(shù)與其反函數(shù)的關(guān)系．

例1．已知長(zhǎng)方體的全面積為11,其12條棱的長(zhǎng)度之和為24,則這個(gè)長(zhǎng)方體的一條對(duì)角線長(zhǎng)為(　　 ).

(A)　　　 (B)　　　 (C)5　　　 (D)6

分析及解：設(shè)長(zhǎng)方體三條棱長(zhǎng)分別為x,y,z,則依條件得：

　2(xy+yz+zx)=11,4(x+y+z)=24.而欲求的對(duì)角線長(zhǎng)為,因此需將對(duì)稱式寫成基本對(duì)稱式x+y+z及xy+yz+zx的組合形式,完成這種組合的常用手段是配方法.故=6²-11=25

∴　 ,應(yīng)選C.

例2．設(shè)F₁和F₂為雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn),點(diǎn)P在雙曲線上且滿足∠F₁PF₂=90°,則ΔF₁PF₂的面積是(　　 ).　　　　　　　 　

(A)1　　　 (B)　　 (C)2　　　 (D)

分析及解：欲求　　 (1),而由已知能得到什么呢？

由∠F₁PF₂=90°,得　　 (2),

又根據(jù)雙曲線的定義得|PF₁|-|PF₂|=4　　　 (3),那么(2)、(3)兩式與要求的三角形面積有何聯(lián)系呢？我們發(fā)現(xiàn)將(3)式完全平方,即可找到三個(gè)式子之間的關(guān)系.即,

故∴　 ,∴　 選(A).

注：配方法實(shí)現(xiàn)了“平方和”與“和的平方”的相互轉(zhuǎn)化.

例3．設(shè)雙曲線的中心是坐標(biāo)原點(diǎn),準(zhǔn)線平行于x軸,離心率為,已知點(diǎn)P(0,5)到該雙曲線上的點(diǎn)的最近距離是2,求雙曲線方程.

分析及解：由題意可設(shè)雙曲線方程為,∵,∴a=2b,因此所求雙曲線方程可寫成：　 (1),故只需求出a可求解.

設(shè)雙曲線上點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(x,y),則|PQ|=　 (2),∵點(diǎn)Q(x,y)在雙曲線上,∴(x,y)滿足(1)式,代入(2)得|PQ|=　 (3),此時(shí)|PQ|²表示為變量y的二次函數(shù),利用配方法求出其最小值即可求解.

由(3)式有(y≥a或y≤-a).

二次曲線的對(duì)稱軸為y=4,而函數(shù)的定義域y≥a或y≤-a,因此,需對(duì)a≤4與a>4分類討論.

(1)當(dāng)a≤4時(shí),如圖(1)可知函數(shù)在y=4處取得最小值,

∴令,得a²=4

∴所求雙曲線方程為.

(2)當(dāng)a>4時(shí),如圖(2)可知函數(shù)在y=a處取得最小值,

∴令,得a²=49,

∴所求雙曲線方程為.

注：此題是利用待定系數(shù)法求解雙曲線方程的,其中利用配方法求解二次函數(shù)的最值問(wèn)題,由于二次函數(shù)的定義域與參數(shù)a有關(guān),因此需對(duì)字母a的取值分類討論,從而得到兩個(gè)解,同學(xué)們?cè)诮獯饠?shù)習(xí)題時(shí)應(yīng)學(xué)會(huì)綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法解題.

例4．設(shè)f(x)是一次函數(shù),且其在定義域內(nèi)是增函數(shù),又,試求f(x)的表達(dá)式.

分析及解：因?yàn)榇撕瘮?shù)的模式已知,故此題需用待定系數(shù)法求出函數(shù)表達(dá)式.

設(shè)一次函數(shù)y=f(x)=ax+b　 (a>0),可知　 ,

∴.

比較系數(shù)可知：　　

解此方程組,得　 ,b=2,∴所求f(x)=.

例5．如圖,已知在矩形ABCD中,C(4,4),點(diǎn)A在曲線(x>0,y>0)上移動(dòng),且AB,BC兩邊始終分別平行于x軸,y軸,求使矩形ABCD的面積為最小時(shí)點(diǎn)A的坐標(biāo).

分析及解：設(shè)A(x,y),如圖所示,則(4-x)(4-y)　　　　　 (1)

此時(shí)S表示為變量x,y的函數(shù),如何將S表示為一個(gè)變量x(或y)的函數(shù)呢？有的同學(xué)想到由已知得x²+y²=9,如何利用此條件？是從等式中解出x(或y),再代入(1)式,因?yàn)楸磉_(dá)式有開(kāi)方,顯然此方法不好.

如果我們將(1)式繼續(xù)變形,會(huì)得到S=16-4(x+y)+xy　 　　　　　　(2)

這時(shí)我們可聯(lián)想到x²+y²與x+y、xy間的關(guān)系,即(x+y)²=9+2xy.

因此,只需設(shè)t=x+y,則xy=,代入(2)式得　　 S=16-4t+(3)S表示為變量t的二次函數(shù),

∵0<x<3,0<y<3,∴3<t<,∴當(dāng)t=4時(shí),S_ABCD的最小值為.

此時(shí)

注：換元前后新舊變量的取值范圍是不同的,這樣才能防止出現(xiàn)不必要的錯(cuò)誤.

例6．設(shè)方程x²+2kx+4=0的兩實(shí)根為x₁,x₂,若≥3,求k的取值范圍.

解：∵≥3,

以,代入整理得(k²-2)²≥5,又∵Δ=4k²-16≥0,

∴解得k∈(-)∪[,+].

例7．點(diǎn)P(x,y)在橢圓上移動(dòng)時(shí),求函數(shù)u=x²+2xy+4y²+x+2y的最大值.

解：∵點(diǎn)P(x,y)在橢圓上移動(dòng),　 ∴可設(shè)　　 于是

　　　　　 =

　　　　　 =

　　 令,　　 ∵,∴|t|≤.

　　 于是u=,(|t|≤).

　　 當(dāng)t=,即時(shí),u有最大值.

　　 ∴θ=2kπ+(k∈Z)時(shí),.

例8．過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的直線l與橢圓相交于A,B兩點(diǎn),若以AB為直徑的圓恰好通過(guò)橢圓的左焦點(diǎn)F,求直線l的傾斜角.

解：設(shè)A(x₁,y₁),B(x₂,y₂)

　　 直線l的方程為y=kx,將它代入橢圓方

程整理得 　(*)

由韋達(dá)定理,(1),(2)

　　 又F(1,0)且AF⊥BF,∴,　　 即　 ,

　　 將,代入上式整理得　 ,

　　 將(1)式,(2)式代入,解得　 .　　 故直線l的傾斜角為或.

注：本題設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為參數(shù),“設(shè)而不求”,以這些參數(shù)為橋梁建立斜率為k的方程求解.

例9．設(shè)集合A={}

(1)若A中有且只有一個(gè)元素,求實(shí)數(shù)a的取值集合B；

(2)當(dāng)a∈B時(shí),不等式x²-5x-6<a(x-4)恒成立,求x的取值范圍.

解：(1)令t=2^x,則t>0且方程化為t²-2t+a=0　 (*),A中有且只有一個(gè)元素等價(jià)于方程(*)有且只有一個(gè)正根,再令f(t)=t²-2t+a,

則Δ=0　 或即a=1或a≤0,從而B=(-,0]∪{1}.

(2)當(dāng)a=1時(shí),<x<3+,

當(dāng)a≤0,令g(a)=a(x-4)-(x²-5x-6),則當(dāng)a≤0時(shí)不等式　 恒成立,

即當(dāng)a≤0時(shí),g(a)>0恒成立,故　 ≤4.

綜上討論,x的取值范圍是(,4).

配方法、待定系數(shù)法、換元法是幾種常用的數(shù)學(xué)基本方法.這些方法是數(shù)學(xué)思想的具體體現(xiàn),是解決問(wèn)題的手段,它不僅有明確的內(nèi)涵,而且具有可操作性,有實(shí)施的步驟和作法.

配方法是對(duì)數(shù)學(xué)式子進(jìn)行一種定向的變形技巧,由于這種配成“完全平方”的恒等變形,使問(wèn)題的結(jié)構(gòu)發(fā)生了轉(zhuǎn)化,從中可找到已知與未知之間的聯(lián)系,促成問(wèn)題的解決.

待定系數(shù)法的實(shí)質(zhì)是方程的思想,這個(gè)方法是將待定的未知數(shù)與已知數(shù)統(tǒng)一在方程關(guān)系中,從而通過(guò)解方程(或方程組)求得未知數(shù).

換元法是一種變量代換,它是用一種變數(shù)形式去取代另一種變數(shù)形式,從而使問(wèn)題得到簡(jiǎn)化,換元的實(shí)質(zhì)是轉(zhuǎn)化.

2．為了實(shí)施有效的化歸，既可以變更問(wèn)題的條件，也可以變更問(wèn)題的結(jié)論，既可以變換問(wèn)題的內(nèi)部結(jié)構(gòu)，又可以變換問(wèn)題的外部形式，既可以從代數(shù)的角度去認(rèn)識(shí)問(wèn)題，又可以從幾何的角度去解決問(wèn)題。

1．熟練、扎實(shí)地掌握基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能和基本方法是轉(zhuǎn)化的基礎(chǔ)；豐富的聯(lián)想、機(jī)敏細(xì)微的觀察、比較、類比是實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化的橋梁；培養(yǎng)訓(xùn)練自己自覺(jué)的化歸與轉(zhuǎn)化意識(shí)需要對(duì)定理、公式、法則有本質(zhì)上的深刻理解和對(duì)典型習(xí)題的總結(jié)和提煉，要積極主動(dòng)有意識(shí)地去發(fā)現(xiàn)事物之間的本質(zhì)聯(lián)系�！白セ�礎(chǔ)，重轉(zhuǎn)化”是學(xué)好中學(xué)數(shù)學(xué)的金鑰匙。

例1．某廠2001年生產(chǎn)利潤(rùn)逐月增加，且每月增加的利潤(rùn)相同，但由于廠方正在改造建設(shè)，元月份投入資金建設(shè)恰好與元月的利潤(rùn)相等，隨著投入資金的逐月增加，且每月增加投入的百分率相同，到12月投入建設(shè)資金又恰好與12月的生產(chǎn)利潤(rùn)相同，問(wèn)全年總利潤(rùn)m與全年總投入N的大小關(guān)系是　　　　　　　 (　 )

A. m>N　　　 　B. m<N　　 　　C.m=N　　 　　D.無(wú)法確定

[分析]每月的利潤(rùn)組成一個(gè)等差數(shù)列{a_n}，且公差d＞0，每月的投資額組成一個(gè)等比數(shù)列{b_n}，且公比q＞1。，且，比較與的大小。

若直接求和，很難比較出其大小，但注意到等差數(shù)列的通項(xiàng)公式a_n=a₁+(n-1)d是關(guān)于n的一次函數(shù)，其圖象是一條直線上的一些點(diǎn)列。等比數(shù)列的通項(xiàng)公式b_n=a₁q^n-1是關(guān)于n的指數(shù)函數(shù)，其圖象是指數(shù)函數(shù)上的一些點(diǎn)列。

在同一坐標(biāo)系中畫出圖象，直觀地可以看出a_i≥b_i 　則＞，即m＞N。

[點(diǎn)評(píng)]把一個(gè)原本是求和的問(wèn)題，退化到各項(xiàng)的逐一比較大小，而一次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的圖象又是每個(gè)學(xué)生所熟悉的。在對(duì)問(wèn)題的化歸過(guò)程中進(jìn)一步挖掘了問(wèn)題的內(nèi)涵，通過(guò)對(duì)問(wèn)題的反思、再加工后，使問(wèn)題直觀、形象，使解答更清新。

例2．如果，三棱錐P-ABC中，已知PA⊥BC，PA=BC=l，PA，BC的公垂線ED=h．求證三棱錐P-ABC的體積．

分析：如視P為頂點(diǎn)，△ABC為底面，則無(wú)論是S_△ABC以及高h(yuǎn)都不好求．如果觀察圖形，換個(gè)角度看問(wèn)題，創(chuàng)造條件去應(yīng)用三棱錐體積公式，則可走出困境．

解：如圖，連結(jié)EB，EC，由PA⊥BC，PA⊥ED，ED∩BC=E，可得PA⊥面ECD．這樣，截面ECD將原三棱錐切割成兩個(gè)分別以ECD為底面，以PE、AE為高的小三棱錐，而它們的底面積相等，高相加等于PE+AE=PA=l，所以

V_P－ABC=V_P－ECD+V_A－ECD=S_△ECD•AE+S_△ECD•PE=S_△ECD •PA=•BC·ED·PA=． 　 評(píng)注：輔助截面ECD的添設(shè)使問(wèn)題轉(zhuǎn)化為已知問(wèn)題迎刃而解．

例3．在的展開(kāi)式中x的系數(shù)為( )．

(A)160　　　　　　 (B)240　　　　　　　 (C)360　　　　　 (D)800

分析與解：本題要求展開(kāi)式中x的系數(shù)，而我們只學(xué)習(xí)過(guò)多項(xiàng)式乘法法則及二項(xiàng)展開(kāi)式定理，因此，就要把對(duì)x系數(shù)的計(jì)算用上述兩種思路進(jìn)行轉(zhuǎn)化：

思路1：直接運(yùn)用多項(xiàng)式乘法法則和兩個(gè)基本原理求解，則展開(kāi)式是一個(gè)關(guān)于x的10次多項(xiàng)式， =(x²+3x+2) (x²+3x+2) (x²+3x+2) (x²+3x+2) (x²+3x+2)，它的展開(kāi)式中的一次項(xiàng)只能從5個(gè)括號(hào)中的一個(gè)中選取一次項(xiàng)3x并在其余四個(gè)括號(hào)中均選 擇常數(shù)項(xiàng)2相乘得到，故為·(3x)··2⁴=5×3×16x=240x，所以應(yīng)選(B)．

思路2 利用二項(xiàng)式定理把三項(xiàng)式乘冪轉(zhuǎn)化為二項(xiàng)式定理再進(jìn)行計(jì)算，∵x²+3x+2=x²+ (3x+2)=(x²+2)+3x=(x²+3x)+2=(x+1)(x+2)=(1+x)(2+x)，∴這條思路下又有四種不同的化歸與轉(zhuǎn)化方法．①如利用x²+3x+2=x²+(3x+2)轉(zhuǎn)化，可以發(fā)現(xiàn)只有(3x+2)⁵中會(huì)有x項(xiàng)，即(3x)·2⁴=240x，故選(B)；②如利用x²+3x+2= (x²+2)+3x進(jìn)行轉(zhuǎn)化，則只 (x²+2) ⁴·3x中含有x一次項(xiàng)，即·3x·C₄⁴·2⁴=240x；③如利用x2+3x+2=(x2+3x)+2進(jìn)行轉(zhuǎn)化，就只有·(x²+3x)·2⁴中會(huì)有x項(xiàng)，即240x；④如選擇x²+3x+2=(1+x)(2+x)進(jìn)行轉(zhuǎn)化，=×展開(kāi)式中的一次項(xiàng)x只能由(1+x)⁵中的一次項(xiàng)乘以(2+x)⁵展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)加上(2+x)⁵展開(kāi)式中的一次項(xiàng)乘以(1+x)⁵展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)后得到，即為x·2⁵+•2⁴•x••1⁵=160x+80x=240x，故選(B)．　

評(píng)注：化歸與轉(zhuǎn)化的意識(shí)幫我們把未知轉(zhuǎn)化為已知。

例4．若不等式對(duì)一切均成立，試求實(shí)數(shù)的取值范圍。

解：　　　

令，則要使它對(duì)均有，只要有

　　　　 或。

點(diǎn)評(píng)：在有幾個(gè)變量的問(wèn)題中，常常有一個(gè)變?cè)�處于主要地位，我們稱之為主元，由于思維定勢(shì)的影響，在解決這類問(wèn)題時(shí)，我們總是緊緊抓住主元不放，這在很多情況下是正確的。但在某些特定條件下，此路往往不通，這時(shí)若能變更主元，轉(zhuǎn)移變?cè)�在�?wèn)題中的地位，就能使問(wèn)題迎刃而解。本題中，若視x為主元來(lái)處理，既繁且易出錯(cuò)，實(shí)行主元的轉(zhuǎn)化，使問(wèn)題變成關(guān)于p的一次不等式，使問(wèn)題實(shí)現(xiàn)了從高維向低維轉(zhuǎn)化，解題簡(jiǎn)單易行。

4．化歸與轉(zhuǎn)化應(yīng)遵循的基本原則：

(1)熟悉化原則：將陌生的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為熟悉的問(wèn)題，以利于我們運(yùn)用熟知的知識(shí)、經(jīng)驗(yàn)和問(wèn)題來(lái)解決。

(2)簡(jiǎn)單化原則：將復(fù)雜的問(wèn)題化歸為簡(jiǎn)單問(wèn)題，通過(guò)對(duì)簡(jiǎn)單問(wèn)題的解決，達(dá)到解決復(fù)雜問(wèn)題的目的，或獲得某種解題的啟示和依據(jù)。

(3)和諧化原則：化歸問(wèn)題的條件或結(jié)論，使其表現(xiàn)形式更符合數(shù)與形內(nèi)部所表示的和諧的形式，或者轉(zhuǎn)化命題，使其推演有利于運(yùn)用某種數(shù)學(xué)方法或其方法符合人們的思維規(guī)律。

(4)直觀化原則：將比較抽象的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為比較直觀的問(wèn)題來(lái)解決。

(5)正難則反原則：當(dāng)問(wèn)題正面討論遇到困難時(shí)，可考慮問(wèn)題的反面，設(shè)法從問(wèn)題的反面去探求，使問(wèn)題獲解。

3．轉(zhuǎn)化有等價(jià)轉(zhuǎn)化和非等價(jià)轉(zhuǎn)化。等價(jià)轉(zhuǎn)化前后是充要條件，所以盡可能使轉(zhuǎn)化具有等價(jià)性；在不得已的情況下，進(jìn)行不等價(jià)轉(zhuǎn)化，應(yīng)附加限制條件，以保持等價(jià)性，或?qū)λ�得結(jié)論進(jìn)行必要的驗(yàn)證。

2．化歸與轉(zhuǎn)化思想的實(shí)質(zhì)是揭示聯(lián)系，實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化。除極簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)問(wèn)題外，每個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決都是通過(guò)轉(zhuǎn)化為已知的問(wèn)題實(shí)現(xiàn)的。從這個(gè)意義上講，解決數(shù)學(xué)問(wèn)題就是從未知向已知轉(zhuǎn)化的過(guò)程�；瘹w與轉(zhuǎn)化的思想是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的根本思想，解題的過(guò)程實(shí)際上就是一步步轉(zhuǎn)化的過(guò)程。數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)化比比皆是，如未知向已知轉(zhuǎn)化，復(fù)雜問(wèn)題向簡(jiǎn)單問(wèn)題轉(zhuǎn)化，新知識(shí)向舊知識(shí)的轉(zhuǎn)化，命題之間的轉(zhuǎn)化，數(shù)與形的轉(zhuǎn)化，空間向平面的轉(zhuǎn)化，高維向低維轉(zhuǎn)化，多元向一元轉(zhuǎn)化，高次向低次轉(zhuǎn)化，超越式向代數(shù)式的轉(zhuǎn)化，函數(shù)與方程的轉(zhuǎn)化等，都是轉(zhuǎn)化思想的體現(xiàn)。