1、提問(wèn)：正方形面積公式？正方體的體積公式？(、)

由于向量具有幾何形式和代數(shù)形式的“雙重身份”，使向量與解析幾何之間有著密切聯(lián)系，而新課程高考則突出了對(duì)向量與解析幾何結(jié)合考查，這就要求我們?cè)谄綍r(shí)的解析幾何教學(xué)與復(fù)習(xí)中，應(yīng)抓住時(shí)機(jī)，有效地滲透向量有關(guān)知識(shí)，樹(shù)立應(yīng)用向量的意識(shí)。應(yīng)充分挖掘課本素材，在教學(xué)中從推導(dǎo)有關(guān)公式、定理，例題講解入手，讓學(xué)生去品位、去領(lǐng)悟，在公式、定理的探索、形成中逐漸體會(huì)向量的工具性，逐漸形成應(yīng)用向量的意識(shí)，在教學(xué)中還應(yīng)注重引導(dǎo)學(xué)生善于運(yùn)用一些問(wèn)題的結(jié)論，加以引申，使之成為解題方法，體會(huì)向量解題的優(yōu)越性，在教學(xué)中還應(yīng)注重引導(dǎo)學(xué)生善于運(yùn)用向量方法解題，逐步樹(shù)立運(yùn)用向量知識(shí)解題的意識(shí)。

例1、(2000年全國(guó)高考題)橢圓的焦點(diǎn)為FF，點(diǎn)P為其上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)∠FP F為鈍角時(shí)，點(diǎn)P橫坐標(biāo)的取值范圍是___。

解：F₁(－,0)F₂(,0),設(shè)P(3cos,2sin)

為鈍角

∴ 　

　　 =9cos²－5+4sin²=5 cos²－1<0

　　 解得：　 ∴點(diǎn)P橫坐標(biāo)的取值范圍是()

點(diǎn)評(píng)：解決與角有關(guān)的一類問(wèn)題，總可以從數(shù)量積入手。本題中把條件中的角為鈍角轉(zhuǎn)化為向量的數(shù)量積為負(fù)值，通過(guò)坐標(biāo)運(yùn)算列出不等式，簡(jiǎn)潔明了。

例2、已知定點(diǎn)A(-1,0)和B(1,0)，P是圓(x-3)²+(y-4)²=4上的一動(dòng)點(diǎn)，求的最大值和最小值。

分析：因?yàn)镺為AB的中點(diǎn)，所以故可利用向量把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求向量的最值。

解：設(shè)已知圓的圓心為C，由已知可得：

又由中點(diǎn)公式得

所以

　　　　　　 =

　　　　　　 =

　　　　　　 =

又因?yàn)?sub> 點(diǎn)P在圓(x-3)²+(y-4)²=4上,　　　　　　　　　　　　　 　　　　

所以　 且　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

所以

即　 故

所以的最大值為100，最小值為20。

點(diǎn)評(píng)：有些解幾問(wèn)題雖然沒(méi)有直接用向量作為已知條件出現(xiàn)，但如果運(yùn)用向量知識(shí)來(lái)解決，也會(huì)顯得自然、簡(jiǎn)便，而且易入手。

例3、(2003年天津高考題)O是平面上一定點(diǎn)，A、B、C是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足，，則P的軌跡一定通過(guò)△ABC的(　 )

(A)外心　　　 (B)內(nèi)心　　 (C)重心　　 (D)垂心

分析：因?yàn)?sub>同向的單位向量，由向量加法的平行四邊形則知是與∠ABC的角平分線(射線)同向的一個(gè)向量，又，知P點(diǎn)的軌跡是∠ABC的角平分線，從而點(diǎn)P的軌跡一定通過(guò)△ABC的內(nèi)心。

反思：根據(jù)本題的結(jié)論，我們不難得到求一個(gè)角的平分線所在的直線方程的步驟；

(1)　　　 由頂點(diǎn)坐標(biāo)(含線段端點(diǎn))或直線方程求得角兩邊的方向向量；

(2)　　　 求出角平分線的方向向量

(3)　　　 由點(diǎn)斜式或點(diǎn)向式得出角平分線方程。{直線的點(diǎn)向式方程：過(guò)P()，其方向向量為，其方程為}

例4、(2003年天津)已知常數(shù)，向量，經(jīng)過(guò)原點(diǎn)以為方向向量的直線與經(jīng)過(guò)定點(diǎn)以為方向向量的直線相交于點(diǎn)，其中．試問(wèn)：是否存在兩個(gè)定點(diǎn)，使得為定值，若存在，求出的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．

(本小題主要考查平面向量的概念和計(jì)算,求軌跡的方法，橢圓的方程和性質(zhì)，利用方程判定曲線的性質(zhì)，曲線與方程的關(guān)系等解析幾何的基本思想和綜合解題能力.)

解：根據(jù)題設(shè)條件，首先求出點(diǎn)P坐標(biāo)滿足的方程，據(jù)此再判斷是否存在兩定點(diǎn)，使得點(diǎn)P到兩定點(diǎn)距離的和為定值.

∵，　 ∴=(λ，a)，=(1，－2λa).

因此，直線OP和AP的方程分別為　 　和 .

消去參數(shù)λ，得點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程.

整理得　 ……①　　　 因?yàn)?sub>所以得：

(i)當(dāng)時(shí)，方程①是圓方程，故不存在合乎題意的定點(diǎn)E和F；

　 (ii)當(dāng)時(shí)，方程①表示橢圓，焦點(diǎn)和為合乎題意的兩個(gè)定點(diǎn)；

　 (iii)當(dāng)時(shí)，方程①也表示橢圓，焦點(diǎn)和為合乎題意的兩個(gè)定點(diǎn).

點(diǎn)評(píng)：本題以平面向量為載體，考查求軌跡的方法、利用方程判定曲線的性質(zhì)、曲線與方程的關(guān)系等解析幾何的基本思想和綜合解題能力。去掉平面向量的背景，我們不難看到，本題即為下題：

在△OAP中，O(0，0)、A(0，a)為兩個(gè)定點(diǎn)，另兩邊OP與AP的斜率分別是，求P的軌跡。

而課本上有一道習(xí)題(數(shù)學(xué)第二冊(cè)(上)第96頁(yè)練習(xí)題4)：

三角形ABC的兩個(gè)頂點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別是(-6，0)、(6，0)，邊AC、BC所在直線的斜率之積等于，求頂點(diǎn)C的軌跡方程。通過(guò)本例可見(jiàn)高考題目與課本的密切關(guān)系。

例5．(2004年天津卷理22)橢圓的中心是原點(diǎn)O，它的短軸長(zhǎng)為，相應(yīng)于焦點(diǎn)F(c，0)()的準(zhǔn)線與x軸相交于點(diǎn)A，|OF|=2|FA|，過(guò)點(diǎn)A的直線與橢圓相交于P、Q兩點(diǎn).

　 (1)求橢圓的方程及離心率；

(2)若，求直線PQ的方程；

(3)設(shè)()，過(guò)點(diǎn)P且平行于準(zhǔn)線的直線與橢圓相交于另一點(diǎn)M，證明.

分析：本小題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)，直線方程，平面向量的計(jì)算，曲線和方程的關(guān)系等解析幾何的基本思想方法和綜合解題能力.

(1)解：由題意，可設(shè)橢圓的方程為.

　 由已知得解得

所以橢圓的方程為，離心率.

(2)解：由(1)可得A(3，0).

設(shè)直線PQ的方程為.由方程組

　　　 得

依題意，得.

設(shè)，則，　 ① .　　 ②

由直線PQ的方程得.于是

.　　 ③

∵，∴.　　 ④

由①②③④得，從而.

所以直線PQ的方程為或

(2)證明：.由已知得方程組

　 注意，解得

因，故

.

而，所以.

平面向量是高中數(shù)學(xué)的新增內(nèi)容，也是新高考的一個(gè)亮點(diǎn)。 向量知識(shí)、向量觀點(diǎn)在數(shù)學(xué)、物理等學(xué)科的很多分支有著廣泛的應(yīng)用，它具有代數(shù)形式和幾何形式的“雙重身份”，能融數(shù)形與一體，能與中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容的的許多主干知識(shí)綜合，形成知識(shí)交匯點(diǎn)。而在高中數(shù)學(xué)體系中，解析幾何占有著很重要的地位，有些問(wèn)題用常規(guī)方法去解決往往運(yùn)算比較繁雜，不妨運(yùn)用向量作形與數(shù)的轉(zhuǎn)化，則會(huì)大大簡(jiǎn)化過(guò)程。

4.(天津卷20)(本小題滿分12分) 已知函數(shù)在處取得極值。

(I)討論和是函數(shù)的極大值還是極小值；

(II)過(guò)點(diǎn)作曲線的切線，求此切線方程。

(江蘇卷10)函數(shù)在閉區(qū)間[-3，0]上的最大值、最小值分別是　 (　 )

(A)1，-1　　　　 (B)1，-17　　　 (C)3，-17　　　 (D)9，-19

(浙江卷11)設(shè)f '(x)是函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)，y=f '(x)的圖象

如右圖所示，則y=f(x)的圖象最有可能的是

(A)　　　　　　　 (B)　　　　　　　 (C)　　　　　　　　 (D)

(浙江卷20)設(shè)曲線y=e^-x(x≥0)在點(diǎn)M(t,e^-t}處的切線l與x軸、y軸圍成的三角形面積為S(t). (1)求切線l的方程；(2)求S(t)的最大值。

3.(天津卷9)函數(shù))為增函數(shù)的區(qū)間是

　 (A)　　 (B)　　 (C)　　 (D)

2．(全國(guó)卷22)(本小題滿分14分)已知函數(shù)f(x)=ln(1+x)-x,g(x)=xlnx,

(i)求函數(shù)f(x)的最大值；(ii)設(shè)0<a<b,證明0<g(a)+g(b)-2g()<(b-a)ln2.

1．(全國(guó)卷10)函數(shù)y=xcosx-sinx在下面哪個(gè)區(qū)間內(nèi)是增函數(shù)(　 )

　　 A ()　　　　 B (π,2π)　　　　 C ()　　　　 D (2π,3π)

例1．　 在處可導(dǎo)，則　　　 　　　

思路：　 在處可導(dǎo)，必連續(xù)　　 　　　　∴

　　 　　∴ 　　

例2．已知f(x)在x=a處可導(dǎo)，且f′(a)=b，求下列極限：

　(1)；　 (2)

　分析：在導(dǎo)數(shù)定義中，增量△x的形式是多種多樣，但不論△x選擇哪種形式，△y也必須選擇相對(duì)應(yīng)的形式。利用函數(shù)f(x)在處可導(dǎo)的條件，可以將已給定的極限式恒等變形轉(zhuǎn)化為導(dǎo)數(shù)定義的結(jié)構(gòu)形式。

　解：(1)

　(2)

說(shuō)明：只有深刻理解概念的本質(zhì)，才能靈活應(yīng)用概念解題。解決這類問(wèn)題的關(guān)鍵是等價(jià)變形，使極限式轉(zhuǎn)化為導(dǎo)數(shù)定義的結(jié)構(gòu)形式。

例3．觀察，，，是否可判斷，可導(dǎo)的奇函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是偶函數(shù)，可導(dǎo)的偶函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是奇函數(shù)。

解：若為偶函數(shù)　　 　　令

∴ 可導(dǎo)的偶函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是奇函數(shù)

　　 另證：

∴ 可導(dǎo)的偶函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是奇函數(shù)

例4．(1)求曲線在點(diǎn)(1，1)處的切線方程；

　(2)運(yùn)動(dòng)曲線方程為，求t=3時(shí)的速度。

　分析：根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義及導(dǎo)數(shù)的物理意義可知，函數(shù)y=f(x)在處的導(dǎo)數(shù)就是曲線y=f(x)在點(diǎn)處的切線的斜率。瞬時(shí)速度是位移函數(shù)S(t)對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)。

　解：(1)，

　，即曲線在點(diǎn)(1，1)處的切線斜率k=0

　因此曲線在(1，1)處的切線方程為y=1

　(2)

　。

例5． 求下列函數(shù)單調(diào)區(qū)間

(1)　　　 (2)

(3) 　　　　　　　　(4)

解：(1) 　時(shí)

　　 ∴ ，

(2)　 ∴ ，

(3)　

∴ 　　　

∴ ，　 ，

(4)　 定義域?yàn)?sub>

例6．求證下列不等式

(1)

(2)

(3)

證：(1) 　

∴ 為上　　 ∴ 　　恒成立

∴ 　　

∴ 在上　 ∴ 　恒成立

(2)原式　 令 　　　

∴ 　　∴ 　　

　 　　∴

(3)令　

　 　　∴

∴

例7．利用導(dǎo)數(shù)求和：

　(1)；

　(2)。

　分析：這兩個(gè)問(wèn)題可分別通過(guò)錯(cuò)位相減法及利用二項(xiàng)式定理來(lái)解決。轉(zhuǎn)換思維角度，由求導(dǎo)公式，可聯(lián)想到它們是另外一個(gè)和式的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)運(yùn)算可使問(wèn)題的解決更加簡(jiǎn)捷。

　解：(1)當(dāng)x=1時(shí)，

　；

　當(dāng)x≠1時(shí)，

　∵，

　兩邊都是關(guān)于x的函數(shù)，求導(dǎo)得

　即

　(2)∵，

　兩邊都是關(guān)于x的函數(shù)，求導(dǎo)得。

　令x=1得

　，

　即。

例8．設(shè)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.

分析：本小題主要考查導(dǎo)數(shù)的概念和計(jì)算，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)的方法及推理和運(yùn)算能力.

解：.

當(dāng)時(shí)　 .

(i)當(dāng)時(shí)，對(duì)所有，有.

即，此時(shí)在內(nèi)單調(diào)遞增.

(ii)當(dāng)時(shí)，對(duì)，有，

即，此時(shí)在(0，1)內(nèi)單調(diào)遞增，又知函數(shù)在x=1處連續(xù)，因此，

函數(shù)在(0，+)內(nèi)單調(diào)遞增

(iii)當(dāng)時(shí)，令，即.

解得.

因此，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，在區(qū)間

內(nèi)也單調(diào)遞增.

令，解得.

因此，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減.

　例9．已知拋物線與直線y=x+2相交于A、B兩點(diǎn)，過(guò)A、B兩點(diǎn)的切線分別為和。

　(1)求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)； (2)求直線與的夾角。

　分析：理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義是解決本例的關(guān)鍵。

　解　 (1)由方程組

　　　 解得 A(-2，0)，B(3，5)

　(2)由y′=2x，則，。設(shè)兩直線的夾角為θ，根據(jù)兩直線的夾角公式，

　　　　 所以

　說(shuō)明：本例中直線與拋物線的交點(diǎn)處的切線，就是該點(diǎn)處拋物線的切線。注意兩條直線的夾角公式有絕對(duì)值符號(hào)。

例10．(2001年天津卷)設(shè)，是上的偶函數(shù)。

(I)求的值；　 (II)證明在上是增函數(shù)。

解：(I)依題意，對(duì)一切有，即，

∴對(duì)一切成立，

由此得到，，　　 又∵，∴。

(II)證明：由，得，

當(dāng)時(shí)，有，此時(shí)�！�在上是增函數(shù)。

4．求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，一般按以下三個(gè)步驟進(jìn)行：

(1)適當(dāng)選定中間變量，正確分解復(fù)合關(guān)系；(2)分步求導(dǎo)(弄清每一步求導(dǎo)是哪個(gè)變量對(duì)哪個(gè)變量求導(dǎo))；(3)把中間變量代回原自變量(一般是x)的函數(shù)。

也就是說(shuō)，首先，選定中間變量，分解復(fù)合關(guān)系，說(shuō)明函數(shù)關(guān)系y=f(μ)，μ=f(x)；然后將已知函數(shù)對(duì)中間變量求導(dǎo)，中間變量對(duì)自變量求導(dǎo)；最后求，并將中間變量代回為自變量的函數(shù)。整個(gè)過(guò)程可簡(jiǎn)記為分解--求導(dǎo)--回代。熟練以后，可以省略中間過(guò)程。若遇多重復(fù)合，可以相應(yīng)地多次用中間變量。