4．已知點P(1,4)在圓C：x²+y²+2ax－4y+b＝0上，點P關于直線x+y－3＝0的對稱點也在圓C上，則a＝________，b＝________.

解析：點P(1,4)在圓C：x²+y²+2ax－4y+b＝0上，所以2a+b+1＝0，點P關于直線x+y－3＝0的對稱點也在圓C上，所以圓心　 (－a,2)在直線x+y－3＝0上，即－a+2－3＝0，解得a＝－1，b＝1.

3．(2009年高考上海卷改編)點P(4，－2)與圓x²+y²＝4上任一點連線的中點軌跡方程是________________．

解析：設圓上任一點坐標為(x₀，y₀)，則x₀²+y₀²＝4，連線中點坐標為(x，y)，

則⇒代入x₀²+y₀²＝4中得(x－2)²+(y+1)²＝1.

2．(2010年揚州調(diào)研)若直線ax+by＝1過點A(b，a)，則以坐標原點O為圓心，OA長為半徑的圓的面積的最小值是___．

解析：∵直線ax+by＝1過點A(b，a)，∴ab+ab＝1，∴ab＝，又OA＝，∴以O為圓心，OA長為半徑的圓的面積：S＝π·OA²＝(a²+b²)π≥2ab·π＝π，∴面積的最小值為π.

1．(2010年福州質(zhì)檢)圓心在直線2x－3y－1＝0上的圓與x軸交于A(1,0)，B(3,0)兩點，則圓的方程為________________．

解析：所求圓與x軸交于A(1,0)，B(3,0)兩點，故線段AB的垂直平分線x＝2過所求圓的圓心，又所求圓的圓心在直線2x－3y－1＝0上，所以兩直線的交點坐標即為所求圓的圓心坐標，解之得圓心坐標為(2,1)，進一步可求得半徑為，所以圓的標準方程為(x－2)²+(y－1)²＝2.

6．已知點A(－3,0)，B(3,0)，動點P滿足|PA|＝2|PB|.

(1)若點P的軌跡為曲線C，求此曲線的方程；

(2)若點Q在直線l：x+y+3＝0上，直線l₂經(jīng)過點Q且與曲線C只有一個公共點M，求|QM|的最小值，并求此時直線l₂的方程．

解：(1)設點P的坐標為(x，y)，

則＝2，

化簡可得(x－5)²+y²＝16即為所求．

(2)曲線C是以點(5,0)為圓心，4為半徑的圓，如圖則直線l₂是此圓的切線，連結CQ，則|QM|＝＝，

當CQ⊥l₁時，|CQ|取最小值，|CQ|＝＝4，

此時|QM|的最小值為＝4，這樣的直線l₂有兩條，設滿足條件的兩個公共點為M₁，M₂，

易證四邊形M₁CM₂Q是正方形，∴l₂的方程是x＝1或y＝－4.

B組

5．(原創(chuàng)題)圓x²+y²－4x+2y+c＝0與y軸交于A、B兩點，其圓心為P，若∠APB＝90°，則實數(shù)c的值是________．

解析：當∠APB＝90°時，只需保證圓心到y軸的距離等于半徑的倍．由于圓的標準方程為(x－2)²+(y+1)²＝5－c，即2＝×，解得c＝－3.

4．(2009年高考寧夏、海南卷改編)已知圓C₁：(x+1)²+(y－1)²＝1，圓C₂與圓C₁關于直線x－y－1＝0對稱，則圓C₂的方程為________________．

解析：圓C₁：(x+1)²+(y－1)²＝1的圓心為(－1,1)．圓C₂的圓心設為(a，b)，C₁與C₂關于直線x－y－1＝0對稱，∴解得圓C₂的半徑為1，∴圓C₂的方程為(x－2)²+(y+2)²＝1.

3．(2010年廣東汕頭調(diào)研)已知D是由不等式組，所確定的平面區(qū)域，則圓x²+y²＝4在區(qū)域D內(nèi)的弧長為________．

答案：π

2．若圓C的半徑為1，圓心在第一象限，且與直線4x－3y＝0和x軸都相切，則該圓的標準方程是________．

解析：由題意，設圓心(x_0,1)，∴＝1，解得x₀＝2或x₀＝－(舍)，

∴所求圓的方程為(x－2)²+(y－1)²＝1.

1．若圓x²+y²－2kx+2y+2＝0(k>0)與兩坐標軸無公共點，那么實數(shù)k的取值范圍為________．

解析：圓的方程為(x－k)²+(y+1)²＝k²－1，圓心坐標為(k，－1)，半徑r＝，若圓與兩坐標無公共點，即，解得1<k<.