3、更為一般的情況是：設(shè)是定義在區(qū)間[a,b]上的函數(shù)，如果對(duì)于[a,b]上的任意兩點(diǎn)，有

其中，則稱是區(qū)間[a,b]上的凸函數(shù)。如果不等式反向，即有則稱是[a,b]上的凹函數(shù)。

2、其推廣形式是：若函數(shù)的是[a,b]上的凸函數(shù)，則對(duì)[a,b]內(nèi)的任意數(shù)，都有

　　　　 　　　(2)

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立。一般稱(2)式為琴生不等式�！　�

1、設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)閇a,b]，如果對(duì)于[a,b]內(nèi)任意兩數(shù)，都有

　　　　 　　　　　(1)

則稱為[a,b]上的凸函數(shù)。若把(1)式的不等號(hào)反向，則稱這樣的為[a,b]上的凹函數(shù)。凸函數(shù)的幾何意義是：過曲線上任意兩點(diǎn)作弦，則弦的中點(diǎn)必在該曲線的上方或在曲線上。

②．基本不等式：　　 ≥()　

語言表述：n個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)。

③．的幾何解釋：

以為直徑作圓，在直徑AB上取一點(diǎn)C，過C作弦DD’^AB　 則，

從而，而半徑。

一般地，設(shè)有兩組實(shí)數(shù)：，，，…，與，，，…，，且它們滿足：

≤≤≤…≤，≤≤≤…≤，

若，，，…，是，，，…，的任意一個(gè)排列，則和數(shù)在，，，…，與，，，…，同序時(shí)最大，反序時(shí)最小，即：

，

等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)或時(shí)成立。

4、定理4：(柯西不等式的推廣形式)：設(shè)為大于1的自然數(shù)，(1，2，…，)為任意實(shí)數(shù)，則：，其中等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立(當(dāng)時(shí)，約定，1，2，…，)。

證明：構(gòu)造二次函數(shù)：

　　 即構(gòu)造了一個(gè)二次函數(shù)：

由于對(duì)任意實(shí)數(shù)，恒成立，則其，

即：，

即：，

等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)，

即等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立(當(dāng)時(shí)，約定，1，2，…，)。如果()全為0，結(jié)論顯然成立。

柯西不等式有兩個(gè)很好的變式：

變式1 設(shè) ，等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)

變式2 　設(shè)a_i，b_i同號(hào)且不為0(i=1，2，…，n)，則：，等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)。

3、定理3：(三角形不等式)設(shè)為任意實(shí)數(shù)，則：

思考：三角形不等式中等號(hào)成立的條件是什么？

，

　　　　　　 其中等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立。

幾何意義：設(shè)，為平面上以原點(diǎn)O為起點(diǎn)的兩個(gè)非零向量，它們的終點(diǎn)分別為A()，B()，那么它們的數(shù)量積為，

而，，

所以柯西不等式的幾何意義就是：，

其中等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)兩個(gè)向量方向相同或相反(即兩個(gè)向量共線)時(shí)成立。

2、定理2：(柯西不等式的向量形式)設(shè)，為平面上的兩個(gè)向量，則，其中等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)兩個(gè)向量方向相同或相反(即兩個(gè)向量共線)時(shí)成立。

12. 常見曲線的參數(shù)方程的一般形式：

　　 (1)經(jīng)過點(diǎn)P₀(x₀，y₀)，傾斜角為a的直線的參數(shù)方程為

稱為直線的標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)方程。

經(jīng)過點(diǎn)P₀(x₀，y₀)，以為方向向量的直線的參數(shù)方程為

稱為直線的一般參數(shù)方程。

此式中的。

　　 利用直線的參數(shù)方程，研究直線與圓錐曲線的位置關(guān)系以及弦長(zhǎng)計(jì)算，有時(shí)比較方便。方法是：

　　 則(1)當(dāng)△<0時(shí)，l與C無交點(diǎn)；(2)當(dāng)△=0時(shí)，l與C有一公共點(diǎn)；(3)當(dāng)△>0時(shí)，l與C有兩個(gè)公共點(diǎn)；此時(shí)方程at²+bt+c=0有兩個(gè)不同的實(shí)根t₁、t₂，把參數(shù)t₁、t₂代入l的參數(shù)方程，即可求得l與C的兩個(gè)交點(diǎn)M₁、M₂的坐標(biāo)；另外，由參數(shù)t的幾何

(2)　　　 圓、橢圓、雙曲線、拋物線的參數(shù)方程

(3)擺線：

當(dāng)一個(gè)圓沿著一條定直線無滑動(dòng)地滾動(dòng)時(shí)，圓周上一個(gè)定點(diǎn)P的軌跡是什么？

我們把定點(diǎn)P的軌跡叫做平擺線，又叫旋輪線。

(4)圓的漸開線：

第二七講不等式選講

11、 化普通方程為參數(shù)方程的基本思路是引入?yún)��?shù)，即選定合適的參數(shù)t，先確定一個(gè)關(guān)系x=f(t)(或y=j(t))，再代入普通方程F(x，y)＝0，求得另一關(guān)系y=j(t)(或x=f(t))。一般地，常選擇的參數(shù)有角(如圓、橢圓、雙曲線)、有向線段的數(shù)量(如直線)、斜率(拋物線是以斜率的倒數(shù)為參數(shù))，某一點(diǎn)的橫坐標(biāo)(或縱坐標(biāo))。