32.(2009四川卷理)(本小題滿分12分)

已知函數(shù)。

(I)求函數(shù)的定義域，并判斷的單調(diào)性；

(II)若

(III)當(為自然對數(shù)的底數(shù))時，設，若函數(shù)的極值存在，求實數(shù)的取值范圍以及函數(shù)的極值。

本小題主要考查函數(shù)、數(shù)列的極限、導數(shù)應用等基礎知識、考查分類整合思想、推理和運算能力。

解：(Ⅰ)由題意知

當

當

當….(4分)

(Ⅱ)因為

由函數(shù)定義域知>0,因為n是正整數(shù)，故0<a<1.

所以 21世紀教育網(wǎng)　 　

(Ⅲ)

令

①　　 當m=0時，有實根，在點左右兩側(cè)均有故無極值

②　　 當時，有兩個實根

當x變化時，、的變化情況如下表所示：

	+	0	-	0	+
	↗	極大值	↘	極小值	↗

的極大值為，的極小值為

③　　 當時，在定義域內(nèi)有一個實根，

同上可得的極大值為

綜上所述，時，函數(shù)有極值；

當時的極大值為，的極小值為

當時，的極大值為 　　　

31.(2009天津卷理)(本小題滿分12分)

　　 　已知函數(shù)其中

(1)　　　 當時，求曲線處的切線的斜率； 　　

(2)　　　 當時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值。 　　

本小題主要考查導數(shù)的幾何意義、導數(shù)的運算、利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值等基礎知識，考查運算能力及分類討論的思想方法。滿分12分。

(I)解：

(II) 　　　

以下分兩種情況討論。

(1)＞，則＜.當變化時，的變化情況如下表：

	+	0	-	0	+
	↗	極大值	↘	極小值	↗

(2)＜，則＞，當變化時，的變化情況如下表：

	+	0	-	0	+
	↗	極大值	↘	極小值	↗

30.(2009湖南卷理)(本小題滿分13分)

某地建一座橋，兩端的橋墩已建好，這兩墩相距米，余下工程只需要建兩端橋墩之間的橋面和橋墩，經(jīng)預測，一個橋墩的工程費用為256萬元，距離為米的相鄰兩墩之間的橋面工程費用為萬元。假設橋墩等距離分布，所有橋墩都視為點，且不考慮其他因素，記余下工程的費用為萬元。

　 (Ⅰ)試寫出關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式；

　 (Ⅱ)當=640米時，需新建多少個橋墩才能使最小？

解 (Ⅰ)設需要新建個橋墩，

所以　

　　 (Ⅱ)　 由(Ⅰ)知，

　 令，得，所以=64 21世紀教育網(wǎng)　 　

　 當0<<64時<0，　 在區(qū)間(0，64)內(nèi)為減函數(shù)； 　　　　　

當時，>0. 在區(qū)間(64，640)內(nèi)為增函數(shù)，

所以在=64處取得最小值，此時，

故需新建9個橋墩才能使最小。

29.(2009寧夏海南卷文)(本小題滿分12分)

已知函數(shù).

(1)　　 設，求函數(shù)的極值；

(2)　　 若，且當時，12a恒成立，試確定的取值范圍.

請考生在第(22)、(23)、(24)三題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計分。作答時用2B鉛筆在答題卡上把所選題目對應的題號涂黑。 　　　　　

(21)解：

(Ⅰ)當a=1時，對函數(shù)求導數(shù)，得21世紀教育網(wǎng)　 　

　　　 令 　　　　　　

列表討論的變化情況：

			(-1，3)	3
	+	0	-	0	+
		極大值6		極小值-26

所以，的極大值是，極小值是

(Ⅱ)的圖像是一條開口向上的拋物線，關(guān)于x=a對稱.

若上是增函數(shù)，從而 　　　　　

上的最小值是最大值是

由于是有 　　　　　

由

所以 　　　　　　

若a>1,則不恒成立.

所以使恒成立的a的取值范圍是 　　　　　　

28.(2009湖北卷文)(本小題滿分14分) 　　

　　　　　 已知關(guān)于x的函數(shù)f(x)＝+bx²+cx+bc,其導函數(shù)為f⁺(x).令g(x)＝∣f⁺(x) ∣,記函數(shù)g(x)在區(qū)間[-1、1]上的最大值為M.

　 (Ⅰ)如果函數(shù)f(x)在x＝1處有極值-，試確定b、c的值：

　 (Ⅱ)若∣b∣>1,證明對任意的c,都有M>2: 　　　

　 (Ⅲ)若M≧K對任意的b、c恒成立，試求k的最大值。

本小題主要考察函數(shù)、函數(shù)的導數(shù)和不等式等基礎知識，考察綜合運用數(shù)學知識進行推理論證的能力和份額類討論的思想(滿分14分)

(I)解：，由在處有極值

可得

解得或

若，則，此時沒有極值；

若，則

當變化時，，的變化情況如下表：

				1
		0	+	0
		極小值		極大值

當時，有極大值，故，即為所求。

(Ⅱ)證法1：

當時，函數(shù)的對稱軸位于區(qū)間之外。

在上的最值在兩端點處取得

故應是和中較大的一個

即

證法2(反證法)：因為，所以函數(shù)的對稱軸位于區(qū)間之外，

在上的最值在兩端點處取得。

故應是和中較大的一個

假設，則

　　　 21世紀教育網(wǎng)　 　

將上述兩式相加得：

，導致矛盾，

(Ⅲ)解法1：

(1)當時，由(Ⅱ)可知；

(2)當時，函數(shù))的對稱軸位于區(qū)間內(nèi)， 　　

此時

由有

①若則，

于是

②若，則

于是

綜上，對任意的、都有

而當時，在區(qū)間上的最大值

故對任意的、恒成立的的最大值為。

解法2：

(1)當時，由(Ⅱ)可知； 　　

(2)當時，函數(shù)的對稱軸位于區(qū)間內(nèi)，

此時

，即

下同解法1

27.(2009四川卷文)(本小題滿分12分)

已知函數(shù)的圖象在與軸交點處的切線方程是。

(I)求函數(shù)的解析式；

(II)設函數(shù)，若的極值存在，求實數(shù)的取值范圍以及函數(shù)取得極值時對應的自變量的值.

[解析](I)由已知,切點為(2,0),故有,即……①

又，由已知得……②

聯(lián)立①②，解得.

所以函數(shù)的解析式為　　 …………………………………4分

(II)因為 21世紀教育網(wǎng)　 　

令

當函數(shù)有極值時，則，方程有實數(shù)解，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

由，得.

①當時，有實數(shù)，在左右兩側(cè)均有，故函數(shù)無極值

②當時，有兩個實數(shù)根情況如下表：

	+	0	-	0	+
	↗	極大值	↘	極小值	↗

所以在時，函數(shù)有極值；

當時，有極大值；當時，有極小值；

　 …………………………………12分

26.(2009陜西卷理)(本小題滿分12分)

已知函數(shù)，其中

若在x=1處取得極值，求a的值；21世紀教育網(wǎng)　 　

求的單調(diào)區(qū)間；

(Ⅲ)若的最小值為1，求a的取值范圍�！　�

解(Ⅰ)

∵在x=1處取得極值，∴解得

(Ⅱ)

∵　　 ∴

①當時，在區(qū)間∴的單調(diào)增區(qū)間為

②當時，

由

∴

(Ⅲ)當時，由(Ⅱ)①知，

當時，由(Ⅱ)②知，在處取得最小值

綜上可知，若得最小值為1，則a的取值范圍是

25.(2009陜西卷文)(本小題滿分12分)

已知函數(shù)

求的單調(diào)區(qū)間；

若在處取得極值，直線y=my與的圖象有三個不同的交點，求m的取值范圍。

21世紀教育網(wǎng)解析：(1)

當時，對，有

當時，的單調(diào)增區(qū)間為

當時，由解得或；

由解得，

當時，的單調(diào)增區(qū)間為；的單調(diào)減區(qū)間為。

(2)因為在處取得極大值，

所以

所以

由解得。

由(1)中的單調(diào)性可知，在處取得極大值，

在處取得極小值。

因為直線與函數(shù)的圖象有三個不同的交點，又，，

結(jié)合的單調(diào)性可知，的取值范圍是。

24.(2009寧夏海南卷理)(本小題滿分12分)

已知函數(shù)

(I)　　　　　　　　　　 如，求的單調(diào)區(qū)間；

(II)　　　　　　　　 若在單調(diào)增加，在單調(diào)減少，證明

＜6. 　　　　

　(21)解：

(Ⅰ)當時，，故 　　　

當

當

從而單調(diào)減少.

(Ⅱ)

由條件得：從而

因為所以

將右邊展開，與左邊比較系數(shù)得，故

又由此可得 21世紀教育網(wǎng)　 　

于是 　　　

23.(2009遼寧卷理)(本小題滿分12分)

已知函數(shù)f(x)=x－ax+(a－1)，。

(1)討論函數(shù)的單調(diào)性； 　　　　

(2)證明：若，則對任意x，x，xx，有。

解：(1)的定義域為。

2分

(i)若即,則

故在單調(diào)增加。

(ii)若,而,故,則當時，;

當及時，

故在單調(diào)減少，在單調(diào)增加。

(iii)若,即,同理可得在單調(diào)減少，在單調(diào)增加.

(II)考慮函數(shù)

則

由于1<a<5,故，即g(x)在(4, +∞)單調(diào)增加，從而當時有，即，故，當時，有·········12分