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【題目】學(xué)校為獎(jiǎng)勵(lì)在家自主學(xué)習(xí)有突出表現(xiàn)的學(xué)生,決定購買筆記本和鋼筆作為獎(jiǎng)品.已知1本筆記本和4支鋼筆共需100元,4本筆記本和6支鋼筆共需190元.
(1)分別求一本筆記本和一支鋼筆的售價(jià);
(2)若學(xué)校準(zhǔn)備購進(jìn)這兩種獎(jiǎng)品共90份,并且筆記本的數(shù)量不多于鋼筆數(shù)量的3倍,請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)出最省錢的購買方案,并說明理由.
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【題目】如圖1,在中,,點(diǎn)D、E分別是邊的中點(diǎn),連接,將繞點(diǎn)A按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn),記旋轉(zhuǎn)角為,、所在直線相交所成的銳角為.
(1)問題發(fā)現(xiàn)
當(dāng)時(shí),________;________°.
(2)拓展探究
試判斷:當(dāng)時(shí),和的大小有無變化?請(qǐng)僅就圖2的情形給出證明.
(3)在旋轉(zhuǎn)過程中,當(dāng)時(shí),直接寫出此時(shí)的面積.
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【題目】在中,,點(diǎn)P是平面內(nèi)不與點(diǎn)A,C重合的任意一點(diǎn),連接,將線段繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)得到線段,連結(jié).
(1)觀察猜想:如圖1,當(dāng)時(shí),線段繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段,則的值是________,直線與相交所成的較小角的度數(shù)是________;
(2)類比探究:如圖2,當(dāng)時(shí),線段繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段.請(qǐng)直接寫出與相交所成的較小角的度數(shù),并說明與相似,求出的值;
(3)拓展延伸:當(dāng)時(shí),且點(diǎn)P到點(diǎn)C的距離為,線段繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段,若點(diǎn)A,C,P在一條直線上時(shí),求的值.
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【題目】我們定義:將一個(gè)圖形繞某一定點(diǎn)按某一方向旋轉(zhuǎn)一定的角度(旋轉(zhuǎn)角度小于等于360°),并且各邊長(zhǎng)伸縮相同的倍數(shù)得到另一個(gè)圖形,如圖①,這種變換叫做旋轉(zhuǎn)伸縮變換,其中定點(diǎn)叫做旋轉(zhuǎn)中心,對(duì)應(yīng)邊的比叫做伸縮比.
(特例感知)
(1)如圖①,是等邊三角形,繞點(diǎn)A作旋轉(zhuǎn)伸縮變換得,連接,
①若,則旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)為________;
②若伸縮比為2∶1,則線段的數(shù)量關(guān)系為________;
③直線與直線所夾的銳角為________;
(探究證明)
(2)如圖②,在中,,將繞點(diǎn)A逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一定的角度,作旋轉(zhuǎn)伸縮變換得到,連接、,直線與直線相交于點(diǎn)P,請(qǐng)判斷的值及的度數(shù),并說明理由;
(問題解決)
(3)在(2)的條件下,若,求當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)P重合時(shí),的長(zhǎng).
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【題目】(問題背景)如圖,在中,,點(diǎn)D,E分別在邊上,,連接,點(diǎn)P為的中點(diǎn).
(觀察猜想)觀察圖1,猜想線段與的數(shù)量關(guān)系是________,位置關(guān)系是________.
(2)(拓展探究)把繞點(diǎn)A逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到圖2的位置,(1)中的結(jié)論是否仍然成立,若成立,請(qǐng)證明:否則寫出新的結(jié)論并說明理由.
(3)(問題解決)把繞點(diǎn)A在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn),若,請(qǐng)直接寫出線段長(zhǎng)的取值范圍.
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【題目】如圖所示,在△ABC中,,D、E分別是邊AB、BC上的動(dòng)點(diǎn),且,連結(jié)AD、AE,點(diǎn)M、N、P分別是CD、AE、AC的中點(diǎn),設(shè).
(1)觀察猜想
①在求的值時(shí),小明運(yùn)用從特殊到一般的方法,先令,解題思路如下:
如圖1,先由,得到,再由中位線的性質(zhì)得到,
,進(jìn)而得出△PMN為等邊三角形,∴.
②如圖2,當(dāng),仿照小明的思路求的值;
(2)探究證明
如圖3,試猜想的值是否與的度數(shù)有關(guān),若有關(guān),請(qǐng)用含的式子表示出,若無關(guān),請(qǐng)說明理由;
(3)拓展應(yīng)用
如圖4,,點(diǎn)D、E分別是射線AB、CB上的動(dòng)點(diǎn),且,點(diǎn)M、N、P分別是線段CD、AE、AC的中點(diǎn),當(dāng)時(shí),請(qǐng)直接寫出MN的長(zhǎng).
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【題目】某數(shù)學(xué)活動(dòng)小組在作三角形的拓展圖形,研究其性質(zhì)時(shí),經(jīng)歷了如下過程:
●操作發(fā)現(xiàn):
在等腰△ABC中,AB=AC,分別以AB和AC為斜邊,向△ABC的外側(cè)作等腰直角三角形,如圖1所示,其中DF⊥AB于點(diǎn)F,EG⊥AC于點(diǎn)G,M是BC的中點(diǎn),連接MD和ME,則下列結(jié)論正確的是 (填序號(hào)即可)
①AF=AG=AB;②MD=ME;③整個(gè)圖形是軸對(duì)稱圖形;④∠DAB=∠DMB.
●數(shù)學(xué)思考:
在任意△ABC中,分別以AB和AC為斜邊,向△ABC的外側(cè)作等腰直角三角形,如圖2所示,M是BC的中點(diǎn),連接MD和ME,則MD和ME具有怎樣的數(shù)量和位置關(guān)系?請(qǐng)給出證明過程;
●類比探索:
在任意△ABC中,仍分別以AB和AC為斜邊,向△ABC的內(nèi)側(cè)作等腰直角三角形,如圖3所示,M是BC的中點(diǎn),連接MD和ME,試判斷△MED的形狀.
答: .
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【題目】如圖一,菱形與菱形的頂點(diǎn)重合,點(diǎn)在對(duì)角線上,且.
(1)問題發(fā)現(xiàn):
的值為________;
(2)探究與證明:
將菱形繞點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角(),如圖二所示,試探究線段與之間的數(shù)量關(guān)系,并說明理由;
(3)拓展與運(yùn)用:
菱形在旋轉(zhuǎn)過程中,當(dāng)點(diǎn),,三點(diǎn)在一條直線上時(shí),如圖三所示,連接并延長(zhǎng),交于點(diǎn),若,,則的長(zhǎng)為________.
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【題目】在中,,.點(diǎn)P是平面內(nèi)不與A,C重合的任意一點(diǎn),連接,將線段繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段,連接.點(diǎn)M是的中點(diǎn),點(diǎn)N是的中點(diǎn).
(1)問題發(fā)現(xiàn)
如圖1,當(dāng)時(shí),的值是________,直線與直線相交所成的較小角的度數(shù)是________.
(2)類比探究
如圖2,當(dāng)時(shí),請(qǐng)寫出的值及直線與直線相交所成的較小角的度數(shù),并就圖2的情形說明理由.
(3)解決問題
如圖3,當(dāng)時(shí),若點(diǎn)E是的中點(diǎn),點(diǎn)P在直線上,請(qǐng)直接寫出點(diǎn)B,P,D在同一條直線上時(shí)的值.
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【題目】如圖直角坐標(biāo)系中,以M(3,0)為圓心的⊙M交x軸負(fù)半軸于A,交x軸正半軸于B,交y軸于C、D.
(1)若C點(diǎn)坐標(biāo)為(0,4),求點(diǎn)A坐標(biāo).
(2)在(1)的條件下,在⊙M上,是否存在點(diǎn)P,使∠CPM=45°,若存在,求出滿足條件的點(diǎn)P.
(3)過C作⊙M的切線CE,過A作AN⊥CE于F,交⊙M于N,當(dāng)⊙M的半徑大小發(fā)生變化時(shí).AN的長(zhǎng)度是否變化?若變化,求變化范圍,若不變,證明并求值.
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