已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

6

3

，右焦點(diǎn)F₂到直線

x

a

+

y

b

=0的距離為1．
（1）求橢圓的C方程；
（2）已知直線y=k（x-2）（k≠0）與橢圓C相交于M、N兩點(diǎn)，在軸x上是否存在定點(diǎn)E，使

EM

•

EM

為定值？若存在，求出E點(diǎn)的坐標(biāo)和定值；若不存在，說明理由．

已知長(zhǎng)方體AC₁中，棱AB=BC=1，棱BB₁=2，連結(jié)B₁C，過B點(diǎn)作B₁C的垂線交CC₁于E，交B₁C于F．
（1）求證：A₁C⊥平面EBD；
（2）求三棱錐A-A₁B₁C的體積．

已知向量

a

=（cosωx，

3

cosωx），

b

=（sinωx，cosωx）（其中0＜ω≤1），記f（x）=

a

•

b

-

3

2

，且滿足f（x+π）=f（x）．
（1）求函數(shù)y=f（x）的解析式；
（2）當(dāng)x∈[-

π

12

，

5π

12

]時(shí)，求函數(shù)y=f（x）的值域；
（3）如果關(guān)于x的方程3[f（x）]²+mf（x）-1=0在區(qū)間[-

π

12

，

5π

12

]上有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

已知函數(shù)y=f（x）是定義在（0，+∞）上的函數(shù)，對(duì)任意a，b∈（0，+∞）都有f（

a

b

）=f（a）-f（b），
（1）求證：f（ab）=f（a）+f（b）；
（2）若當(dāng)x＞1時(shí)，f（x）＞0，求證：函數(shù)y=f（x）在定義域上為增函數(shù)．

已知拋物線C的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，以坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸，且焦點(diǎn)F（2，0）．
（1）求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）直線l過焦點(diǎn)F與拋物線C相交與M，N兩點(diǎn)，且|MN|=16，求直線l的方程．

如圖所示，A、B分別是橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的上、下頂點(diǎn)，橢圓C的焦點(diǎn)F與拋物線y²=4

2

x的焦點(diǎn)重合，且S_△ABF=

2

．
（1）求橢圓的方程；
（2）若不過點(diǎn)A的直線l與橢圓相交于P、Q兩點(diǎn)，且AP⊥AQ，求證：直線l過定點(diǎn)．

學(xué)校操場(chǎng)邊有一條小溝，溝沿是兩條長(zhǎng)150米的平行線段，溝寬AB為2米，與溝沿垂直的平面與溝的交線是一段拋物線，拋物線的頂點(diǎn)為O，對(duì)稱軸與地面垂直，溝深2米，溝中水深1米．
（Ⅰ）求水面寬；
（Ⅱ）如圖1所示形狀的幾何體稱為柱體，已知柱體的體積為底面積乘以高，求溝中的水有多少立方米？
（Ⅲ）現(xiàn)在學(xué)校要把這條水溝改挖（不準(zhǔn)填土）成截面為等腰梯形的溝，使溝的底面與地面平行，溝深不變，兩腰分別與拋物線相切（如圖2），問改挖后的溝底寬為多少米時(shí)，所挖的土最少？

莫言是中國(guó)首位獲得諾貝爾獎(jiǎng)的文學(xué)家，國(guó)人歡欣鼓舞，某學(xué)校文學(xué)社從男女生中各抽取100名學(xué)生調(diào)查對(duì)莫言作品的了解程度，對(duì)莫言作品閱讀超過75篇的則稱為“對(duì)莫言作品非常了解”，否則為“一般了解”．調(diào)查結(jié)果如下表：

	男生	女生	合計(jì)
非常了解	80	m	140
一般了解	n	40	60
合計(jì)	100	100	200

參考數(shù)據(jù)：K²=

n(ad-bc)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P（K2≥k0）	0.50	0.40	0.25	2.15	0.10	0.02	0.025	0.010	0.005	0.001
k0	0.455	0.708	1.323	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

（1）求m，n的值；
（2）在犯錯(cuò)誤的概率下不超過多少的前提下認(rèn)為“對(duì)莫言作品非常了解與性別有關(guān)”？

作出函數(shù)y=

1-|x|

|1-x|

的圖象，并求其分段解析式．

拋物線y=x²+c與直線x+2y+b=0相交于A、B兩點(diǎn)且OA⊥OB（O為原點(diǎn)）|AB|=

5 5

4

，求b，c的值．