4．有下列命題：①；②；③；④，其中正確命題的個(gè)數(shù)是　　　　　　　　　　　　　　　 (　　 )

A．0個(gè)　　　　　　　　　　　 B．1個(gè)　　　　　　　　　　　 C．2個(gè)　　　　　　　　　　　 D．3個(gè)

3．下列函數(shù)中，在(0，π)上單調(diào)遞增的是　 　　　　　　　　　　　　　　　　(　　 )

A．y=sin(－x)　 B．y=cos(－x)　 C．y=tan　　　 D．y=tan2x

2．已知向量=(3，1)，=(2k－1，k)，⊥，則k的值是　　　　　　　　　　　 (　　 )

A．－1　　　　　　　 B．　　　　　　　 C．－　　　　　　 D．

1．若，則是　　　　　　　　　　 (　　 )

A．　　　 　　　 B．　　　　　 　　 C．　　　 　　 D．

若把等式或不等式進(jìn)行合理的變形后，能非常容易地畫出等號(hào)或不等號(hào)兩邊函數(shù)的圖象，則可以通過畫圖直接判斷得出結(jié)果。尤其對(duì)于選擇題、填空題這種方法更顯方便、快捷。

例10 (07安徽理科3)若對(duì)任意,不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是

(A) 　　(B) 　　　(C) 　　　(D)

解析：對(duì),不等式恒成立

則由一次函數(shù)性質(zhì)及圖像知，即。

上述例子剖析了近三年數(shù)學(xué)高考中恒成立問題的題型及解法，值得一提的是，各種類型各種方法并不是完全孤立的，雖然方法表現(xiàn)的不同，但其實(shí)質(zhì)卻都與求函數(shù)的最值是等價(jià)的，這也正體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中的“統(tǒng)一美”。

　 利用分離參數(shù)法來確定不等式,( ,為實(shí)參數(shù))恒成立中參數(shù)的取值范圍的基本步驟:

(1) 將參數(shù)與變量分離，即化為(或)恒成立的形式；

(2) 求在上的最大(或最小)值；

(3) 解不等式(或) ，得的取值范圍。

適用題型：(1) 參數(shù)與變量能分離；(2) 函數(shù)的最值易求出。

例8 (07年山東卷文15)當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，則的取值范圍是　 .

解析: 當(dāng)時(shí)，由得.令，則易知在上是減函數(shù)，所以時(shí)，則∴.

例9(09年山東卷文21)已知函數(shù),其中 w.w.w.k.s.5…。

(1)　　　 當(dāng)滿足什么條件時(shí),取得極值?

(2)　　　 已知,且在區(qū)間上單調(diào)遞增,試用表示出的取值范圍.

分析：此題雖有三個(gè)變量、、，而的范圍已知，最終要用表示出的取值范圍，所以可以將看成一個(gè)已知數(shù)，對(duì)和進(jìn)行離參。

解析：(2) 在區(qū)間上單調(diào)遞增在上恒成立恒成立，。設(shè)，，令得或(舍去)，

當(dāng)時(shí),，當(dāng)時(shí)，單調(diào)增函數(shù)；

當(dāng)時(shí)，單調(diào)減函數(shù),

　　。。

當(dāng)時(shí)，，此時(shí)在區(qū)間恒成立，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，，。

綜上，當(dāng)時(shí), ；　 當(dāng)時(shí)，。

某些含參不等式恒成立問題，在分離參數(shù)會(huì)遇到討論的麻煩或者即使能容易分離出參數(shù)與變量，但函數(shù)的最值卻難以求出時(shí)，可考慮變換思維角度。即把主元與參數(shù)換個(gè)位置，再結(jié)合其它知識(shí)，往往會(huì)取得出奇制勝的效果。

例6(07遼寧卷文科22)已知函數(shù)，，且對(duì)任意的實(shí)數(shù) 均有，.

(Ⅰ) 求函數(shù)的解析式；

(Ⅱ)若對(duì)任意的，恒有，求的取值范圍.

解析： (Ⅰ) ，

，而，恒成立.則由二次函數(shù)性質(zhì)得　 ，解得，， 　。

(Ⅱ).令，則 即.由于，則有.　 解得 .所以的取值范圍為。

例7 (08安徽文科20)．已知函數(shù)，其中為實(shí)數(shù)．

(Ⅱ)已知不等式對(duì)任意都成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．(節(jié)選)

分析：已知參數(shù)的范圍，要求自變量的范圍，轉(zhuǎn)換主參元和的位置，構(gòu)造以為自變量作為參數(shù)的一次函數(shù)，轉(zhuǎn)換成，恒成立再求解。

解析：由題設(shè)知“對(duì)都成立，即對(duì)都成立。設(shè)()，

則是一個(gè)以為自變量的一次函數(shù)。恒成立，則對(duì)，為上的單調(diào)遞增函數(shù)。 所以對(duì)，恒成立的充分必要條件是，，，于是的取值范圍是。

2、其它函數(shù)：

恒成立(注：若的最小值不存在，則恒成立的下界大于0)；恒成立(注：若的最大值不存在，則恒成立的上界小于0).

例3(07年重慶卷理20)已知函數(shù)在處取得極值，其中、為常數(shù).

(1)試確定、的值；　

(2)討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

(3)若對(duì)任意，不等式恒成立，求的取值范圍。

分析： 恒成立，即 ，要解決此題關(guān)鍵是求 ，。

解：(1)(2)略

(3)由(2)知，在處取得極小值，此極小值也是最小值.

要使恒成立，只需.即，

從而. 解得或.　 的取值范圍為.

例4(08天津文21)．設(shè)函數(shù)，其中．

(Ⅲ)若對(duì)于任意的，不等式在上恒成立，求的取值范圍．(節(jié)選)

分析：，即，，，要解決此題關(guān)鍵是求。

解：(Ⅲ)由條件可知

，從而恒成立．當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．

因此函數(shù)在上的最大值是與兩者中的較大者．

為使對(duì)任意，不等式在上恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)，

即，即在上恒成立．即，

所以，因此滿足條件的的取值范圍是．

例5(09年全國卷II文21)設(shè)函數(shù)，其中常數(shù)

(II)若當(dāng)時(shí)，恒成立，求的取值范圍。(節(jié)選)　 　

分析：利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，由恒成立條件得出不等式條件從而求出的范圍。

解：(II)由(I)知，當(dāng)時(shí)，在或處取得最小值。

；

則由題意得　 　　　即解得　 　　。

1、二次函數(shù)：

①.若二次函數(shù)(或)在R上恒成立，則有(或)；

②.若二次函數(shù)(或)在指定區(qū)間上恒成立，可以利用韋達(dá)定理以及根的分布等知識(shí)求解。

例1(08年江西卷理12)．已知函數(shù)，若對(duì)于任一實(shí)數(shù)，與的值至少有一個(gè)為正數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是( 　)

A．(0，2)　　 　　　B．(0，8)　　　　 C．(2，8)　 　　　D．(－∞，0)

分析：與的函數(shù)類型，直接受參數(shù)的影響，所以首先要對(duì)參

數(shù)進(jìn)行分類討論，然后轉(zhuǎn)換成不等式的恒成立的問題利用函數(shù)性質(zhì)及圖像解題。

解析：當(dāng)時(shí)，在上恒成立，而

在上恒成立，顯然不滿足題意；(如圖1)

當(dāng)時(shí)，在上遞減且只在上恒成立，

而是一個(gè)開口向下且恒過定點(diǎn)(0，1)的二次函數(shù)，顯然不滿足題意。

當(dāng)時(shí)，在上遞增且在上恒成立，

而是一個(gè)開口向上且恒過定點(diǎn)(0，1)的二次函數(shù)，要使對(duì)任一實(shí)數(shù)，

與的值至少有一個(gè)為正數(shù)則只需在上恒成立。(如圖3)

則有或解得或，

綜上可得即。 故選B。

例2(09年江西卷文17)設(shè)函數(shù)．　 　　　　

(1)對(duì)于任意實(shí)數(shù)，恒成立，求的最大值。(節(jié)選)

解析：(1) , 對(duì),, 即 在上恒成立, , 得，即的最大值為。

7．某運(yùn)輸公司有7輛可載的6t的A型卡車與4輛可載的10t的B型卡車，有9名駕駛員，建筑某段高速公路中，此公司承包了每天至少搬運(yùn)360t瀝青的任務(wù)，已知每輛卡車每天往返的次數(shù)為A型車8次，B型車6次，每輛卡車每天往返的成本費(fèi)為A型車160元，B型車為252元，每天派出A型車和B型車各多少輛，公司所花的成本費(fèi)最低？